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Réponse :

Explications étape par étape

question 1 -

a)

les points A, B et C sont sur la courbe de y = x^2  

donc ils ont pour coordonnees (a, a^2) (b,b^2) (c,c^2)

de ce fait

vecteur AB a pour coordonnee [ (b-a), (b^2-a^2) ]

or (b^2-a^2) = (b-a) (b+a)

de ce fait les coordonnees du vecteur AB sont [ (b-a), (b-a)(b+a) ]

de meme les coordonnees du vecteur AC sont [ (c-a), (c-a)(c+a) ]

b)

par definition, le determinant des vecteurs AB et AC est

(c-a)(c+a)(b-a) - (b-a)(b+a)(c-a)

qui se factorise en

(b-a)(c-a) [ (c+a) - (b+a) ]

bon ben maintenant on va supprimer les parentheses dans (c+a) - (b+a) pour trouver c + a - b - a = c - b d ou

le determinant des vecteurs AB et AC est (b-a)(c-a)(c-b)

c)

pour que les vecteurs AB et AC soient colineaires il faut que leur determinant soit nul

ce qui veut dire

b-a=0 ou c-a=0 ou c-b=0

ce qui est equivalent a dire

b=a ou c=a ou b=a

mais on se souvient de l enonce qui stipule que les reels a b et c sont deux a deux distincts

donc c est pas possible donc le determinant est non nul donc

les vecteurs AB et AC ne sont pas colineaires.

on en deduit que les points A B et C ne sont pas alignes

Question 2 -

a)

c est reparti, on applique la meme methode qu a la question 1 a) et b) d ou

les coordonnees du vecteur AB sont [ (b-a), (b-a)(b+a) ]

les coordonnees du vecteur CD sont [ (d-c), (d-c)(d+c) ]

b)

les cordes [AB] et [CD] sont parallelles si et seulement si les vecteurs AB et CD sont colineaires

ce qui est equivalent a dire que leur determinant est nul

ben c est le moment de calculer ce determinant, ca donne

(d-c)(d+c)(b-a) - (b-a)(b+a)(d-c)

=  (d-c)(b-a) [ (d+c) - (b+a) ]

=  (d-c)(b-a) [ d + c - b- a ]

=  (d-c)(b-a)(d + c - b -a )

les points sont distincts donc a est different de b et c est different de d

du coup le determinant s annule si  d + c - b - a = 0

pour conclure les cordes [AB] et [CD] sont parallelles si et seulement si d + c - b - a = 0