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Bonjour,

Ex 9)

1) M₁, M₂, M₃ alignés ⇒ M₁M₂ et M₁M₃ colinéaires par exemple

M₁M₂(-1;1;1) et M₁M₃(-2;3;-1) : coordonnées non proportionnelles donc points non alignés

2) Il faut par exemple : M₁M = aM₁M₂ + bM₁M₃  a et b réels

soit x - 1 = -a - 2b

      y + 1 = a + 3b

      z - 2 = a - b

Ex 10)

1) non, pas de proportionalité des coordonnées

2) A(1;0;3)

x = 1 + t + 2t'

y = 0 + 2t - t'

z = 3 - t - t'

3) u∧v  

2x(-1) - (-1x3) = 1

-1x2 - 1x(-1) = -1

1x3 - 2x2 = -1

u∧v est un vecteur normal à P

Pour tout M(x;y;z) du plan, AM.(u∧v) = 0

AM(x - 1; y ; z - 3)

⇒ (x - 1) - y - (z - 3) = 0

⇔ x - y - z - 2 = 0

4) d = |1 - 3|/√(1² + (-1)²  + (-1)²) = 2/√3

5) M'(x;y;z) projeté de M sur P

M'∈P ⇒ x - y - z - 2 = 0

et MM' colinéaires à u∧v ⇒

x - 1 = k ⇒ x = k + 1

y - 1 = -k ⇒ y = 1 - k

z + 1 = -k ⇒ z = -1 - k

⇒ (k + 1) - (1 - k) - (-1 - k) - 2 = 0

⇔ 3k -1 = 0 ⇒ k = 1/3

⇒ x = ...