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Bonjour,

U₀ = 0 et pour tout n ∈ N, Un+1 = Un + 2n + 2

1) U₁ = U₀₊₁ = U₀ + 2x0 + 2 = 2

U₂ = U₁₊₁ = U₁ + 2x1 + 2 = 6

2) a) N = 3 et U = I = 0

1ère itération :

U + 2xI + 2 → U donc U = 2

I + 1 → I donc I = 1

2ème itération :

U = 2 + 2x1 + 2 = 6

I = 1 + 1 = 2

3ème itération :

U = 6 + 2x2 + 2 = 12

I = 2 + 1 = 3

Sortie de la boucle car I = N = 3

Affichage : 12

b) calcul de Un pour N donné

3) (Un) semble croissante.

Un+1 - Un = 2n + 2 > 0 pour tout n ∈ N

⇒ Un+1 > Un pour tout n ∈ N

⇒ (Un) croissante

4) Vn = Un+1 - Un

a) Vn = 2n + 2 et (Vn) est croissante (cf 3))

b) S = V₀ + V₁ + ... + Vn

= (2x0 + 2) + (2x1 + 2) + ..... + (2n + 2)

= 2x(0 + 1 + .... + n) + (n + 1) x 2

= 2 x n(n + 1)/2 + 2(n + 1)

= (n + 2)(n + 1)

c) S = V₀ + V₁ + ... + Vn

= (U₁ - U₀) + (U₂ - U₁) + ..... + (Un+1 - Un)

= -U₀ + Un+1    (= Un+1 car U₀ = 0)

On en déduit : Un+1 = (n + 1)(n + 2)

Soit : Un = n(n + 1)