Bonsoir, La courbe C1 se trouve toujours négative sur [0;+∞[ donc si elle est la dérivée d'une autre alors celle-ci sera décroissante sur [0;+∞[, c'est le cas de C3. Pour C(3), on remarque qu'elle est positive sur l'intervalle ]0;2] et négative sur [2;+∞[, on en déduit alors que la fonction dont elle dérive doit être croissante sur ]0;2] puis décroissante sur [2;+∞[. On peut donc dire que C3 dérive de C2. On en conclut la courbe C1 est celle de f, C3 celle de g et C2 celle de h.
1) Soit h la fonction définie sur [0;+∞[ telle que: h(x)=[-9/(2x+1)]-x+8. On sait que la fonction g est la dérivée de h donc on peut écrire que: g(x)=h'(x) g(x)=([-9/(2x+1)-x+8)' On appelle u(x) la fonction telle que: u(x)=-9/(2x+1) C’est une fonction du type 1/u(x) donc sa dérivée sera du type -u'(x)/u(x)² donc: u'(x)=(-9×(-2))/(2x+1)² u'(x)=18/(2x+1)² On peut alors l'intégrer à g(x): g(x)=18/(2x+1)²-1 On sait aussi que la fonction f est la dérivée de g donc nous pouvons poser: f(x)=g'(x) f(x)=(18/(2x+1)²-1)' Comme 18/(2x+1)² qui est une fonction du type u(x)/v(x) donc sa dérivée sera du type (u'(x)v(x)-u(x)v'(x))/(v(x))² donc: u(x)=18⇒u'(x)=0 v(x)=(2x+1)²⇒v'(x)=4(2x+1) (car du type u(x)^n) f(x)=-18×4(2x+1)/(2x+1)⁴ f(x)=-72/(2x+1)³ Pour connaître les variations, nous allons étudier le signe des dérivées. Nous allons commencer par étudier le signe de f. On remarque que sur [0;+∞[ (2x+1)³>0 donc f(x)<0 sur cet intervalle, on en déduit alors que la fonction g est strictement décroissante sur [0;+∞[ Pour le signe de g, nous devons résoudre g(x)=0 donc: g(x)=0 18/(2x+1)²-1=0 18-(2x+1)²=0 18-4x²-4x-1=0 4x²+4x-17=0 Δ=b²-4ac=(4)²-4(4)(-17)=16+112=128 x(1)=(-b-√Δ)/2a=(-4-√128)/8=(-1-2√2)/2≤0 x(2)=(-b+√Δ)/2a=(-1+2√2)/2 D'après le théorème du signe du polynôme, g(x)≥0 sur [(-1+2√2)/2;+∞[ donc h sera croissante sur cet intervalle et g(x)≤0 sur [0;(-1+2√2)/2] donc h sera décroissante sur cet intervalle. Pour les variations de f, nous allons calculer sa dérivée f': f'(x)=(-72/(2x+1)³) (type u/v) u(x)=-72⇒u'(x)=0 v(x)=(2x+1)³⇒ v'(x)=6(2x+1)² (type uⁿ) f'(x)=(u'(x)v(x)-u(x)v'(x))/(v(x))² f'(x)=72(2x+1)²/(2x+1)⁶ f'(x)=72/(2x+1)⁴ ∀x∈[0;+∞[, on a (2x+1)⁴>0 donc f'(x)>0 sur cet intervalle donc f est strictement croissante sur [0;+∞[
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Bonsoir,La courbe C1 se trouve toujours négative sur [0;+∞[ donc si elle est la dérivée d'une autre alors celle-ci sera décroissante sur [0;+∞[, c'est le cas de C3. Pour C(3), on remarque qu'elle est positive sur l'intervalle ]0;2] et négative sur [2;+∞[, on en déduit alors que la fonction dont elle dérive doit être croissante sur ]0;2] puis décroissante sur [2;+∞[. On peut donc dire que C3 dérive de C2.
On en conclut la courbe C1 est celle de f, C3 celle de g et C2 celle de h.
1) Soit h la fonction définie sur [0;+∞[ telle que: h(x)=[-9/(2x+1)]-x+8.
On sait que la fonction g est la dérivée de h donc on peut écrire que:
g(x)=h'(x)
g(x)=([-9/(2x+1)-x+8)'
On appelle u(x) la fonction telle que:
u(x)=-9/(2x+1)
C’est une fonction du type 1/u(x) donc sa dérivée sera du type -u'(x)/u(x)² donc:
u'(x)=(-9×(-2))/(2x+1)²
u'(x)=18/(2x+1)²
On peut alors l'intégrer à g(x):
g(x)=18/(2x+1)²-1
On sait aussi que la fonction f est la dérivée de g donc nous pouvons poser:
f(x)=g'(x)
f(x)=(18/(2x+1)²-1)'
Comme 18/(2x+1)² qui est une fonction du type u(x)/v(x) donc sa dérivée sera du type (u'(x)v(x)-u(x)v'(x))/(v(x))² donc:
u(x)=18⇒u'(x)=0
v(x)=(2x+1)²⇒v'(x)=4(2x+1) (car du type u(x)^n)
f(x)=-18×4(2x+1)/(2x+1)⁴
f(x)=-72/(2x+1)³
Pour connaître les variations, nous allons étudier le signe des dérivées. Nous allons commencer par étudier le signe de f.
On remarque que sur [0;+∞[ (2x+1)³>0 donc f(x)<0 sur cet intervalle, on en déduit alors que la fonction g est strictement décroissante sur [0;+∞[
Pour le signe de g, nous devons résoudre g(x)=0 donc:
g(x)=0
18/(2x+1)²-1=0
18-(2x+1)²=0
18-4x²-4x-1=0
4x²+4x-17=0
Δ=b²-4ac=(4)²-4(4)(-17)=16+112=128
x(1)=(-b-√Δ)/2a=(-4-√128)/8=(-1-2√2)/2≤0
x(2)=(-b+√Δ)/2a=(-1+2√2)/2
D'après le théorème du signe du polynôme, g(x)≥0 sur [(-1+2√2)/2;+∞[ donc h sera croissante sur cet intervalle et g(x)≤0 sur [0;(-1+2√2)/2] donc h sera décroissante sur cet intervalle. Pour les variations de f, nous allons calculer sa dérivée f':
f'(x)=(-72/(2x+1)³) (type u/v)
u(x)=-72⇒u'(x)=0
v(x)=(2x+1)³⇒ v'(x)=6(2x+1)² (type uⁿ)
f'(x)=(u'(x)v(x)-u(x)v'(x))/(v(x))²
f'(x)=72(2x+1)²/(2x+1)⁶
f'(x)=72/(2x+1)⁴
∀x∈[0;+∞[, on a (2x+1)⁴>0 donc f'(x)>0 sur cet intervalle donc f est strictement croissante sur [0;+∞[