f(x) = ax² + bx + c

il faut traduire les données

1) f'(3) = 1

on calcule f'(x)

f'(x) = 2ax + b

puis on écrit que f(3) = 1

6a + b = 1  (1)

2) f(1) = 2

on écrit que l'image de 1 est 2  

f(1) = a + b + c  d'où a + b + c = 2  (2)

3) f(-1) = 4

f(-1) = a - b + c  d'où  a - b + c = 4  (3)

on obtient un système de trois équations à trois inconnues

6a + b = 1  (1)

a + b + c = 2  (2)

a - b + c = 4  (3)

on le résout :

calcul de b

on soustrait membre à membre les équations (2) et (3)  [ (2) - (3) ]

(a + b + c) - (a - b + c) = 2 - 4

2b = -2

b = -1

calcul de a

on remplace b par -1 dans l'équation (1)    6a + b = 1

6a - 1 = 1

6a = 2

a = 1/3

calcule de c

on utilise l'équation (2)  a + b + c = 2

1/3 -1 + c = 2

c = 2 + 1 - 1/3

c = 9/3 - 1/3

c = 8/3

réponse : f(x) = (1/3)x² - x + 8/3

(la méthode consiste à traduire chaque donnée par une équation où les inconnues sont a, b et c puis à résoudre le système obtenu)

on peut vérifier en calculant f'(3), f(1) et f(-1)