Bonsoir pourriez-vous m'aider sur ce sujet :
Dans une école de statistique, après étude des dossiers des candidats, le recrutement se fait de deux façons:
10 % des candidats sont sélectionnés sur dossier. Ces candidats doivent ensuite passer un oral à l'issue duquel 60 % d'entre eux sont finalement admis à l'école.
Les candidats n'ayant pas été sélectionnés sur dossier passent une épreuve écrite à l'issue de laquelle 20 % d'entre eux sont admis à l'école.
Partie I
On choisit au hasard un candidat à ce concours de recrutement. On notera:
D l'événement « le candidat a été sélectionné sur dossier »;
A l'événement « le candidat a été admis à l'école »;
Ď et Ᾰ les événements contraires des événements D et A respectivement.
1. Traduire la situation par un arbre pondéré.
2. Calculer la probabilité que le candidat soit sélectionné sur dossier et admis à l'école.
3. Montrer que la probabilité de l'événement A est égale à 0,24.
4. On choisit au hasard un candidat admis à l'école. Quelle est la probabilité que son dossier n'ait pas été sélectionné?
Partie II
1. On admet que la probabilité pour un candidat d'être admis à l'école est égale à 0,24.
On considère un échantillon de sept candidats choisis au hasard, en assimilant ce choix à un tirage au sort.
a. On admet que la variable aléatoire X suit une loi binomiale. Quels sont les paramètres de cette loi ?
b. Calculer la probabilité qu'un seul des sept candidats tiré au sort soit admis à l'école. On donnera une réponse arrondie au centième.
c. Calculer la probabilité qu'un moins deux des sept candidats tirés au sort soient admis à cette école. On donnera une réponse arrondie au centième.
2. Un lycée présente n candidats au recrutement dans cette école, où n est un entier naturel non nul.
On admet que la probabilité pour un candidat quelconque du lycée d'être admis à l'école est égale à 0,24 et que les résultats des candidats sont indépendants les uns des autres.
a. Donner l'expression, en fonction de n, de la probabilité qu'aucun candidat issu de ce lycée ne soit admis à l'école.
b. A partir de quelle valeur de l'entier n la probabilité qu'au moins un élève de ce lycée soit admis à l'école est-elle supérieur ou égale à 0,99 ?
Dans une école de statistique, après étude des dossiers des candidats, le recrutement se fait de deux façons:
10 % des candidats sont sélectionnés sur dossier. Ces candidats doivent ensuite passer un oral à l'issue duquel 60 % d'entre eux sont finalement admis à l'école.
Les candidats n'ayant pas été sélectionnés sur dossier passent une épreuve écrite à l'issue de laquelle 20 % d'entre eux sont admis à l'école.
Partie I
On choisit au hasard un candidat à ce concours de recrutement. On notera:
D l'événement « le candidat a été sélectionné sur dossier »;
A l'événement « le candidat a été admis à l'école »;
Ď et Ᾰ les événements contraires des événements D et A respectivement.
1. Traduire la situation par un arbre pondéré.
2. Calculer la probabilité que le candidat soit sélectionné sur dossier et admis à l'école.
3. Montrer que la probabilité de l'événement A est égale à 0,24.
4. On choisit au hasard un candidat admis à l'école. Quelle est la probabilité que son dossier n'ait pas été sélectionné?
Partie II
1. On admet que la probabilité pour un candidat d'être admis à l'école est égale à 0,24.
On considère un échantillon de sept candidats choisis au hasard, en assimilant ce choix à un tirage au sort.
a. On admet que la variable aléatoire X suit une loi binomiale. Quels sont les paramètres de cette loi ?
b. Calculer la probabilité qu'un seul des sept candidats tiré au sort soit admis à l'école. On donnera une réponse arrondie au centième.
c. Calculer la probabilité qu'un moins deux des sept candidats tirés au sort soient admis à cette école. On donnera une réponse arrondie au centième.
2. Un lycée présente n candidats au recrutement dans cette école, où n est un entier naturel non nul.
On admet que la probabilité pour un candidat quelconque du lycée d'être admis à l'école est égale à 0,24 et que les résultats des candidats sont indépendants les uns des autres.
a. Donner l'expression, en fonction de n, de la probabilité qu'aucun candidat issu de ce lycée ne soit admis à l'école.
b. A partir de quelle valeur de l'entier n la probabilité qu'au moins un élève de ce lycée soit admis à l'école est-elle supérieur ou égale à 0,99 ?
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Réponse :
Explications étape par étape :
■ tableau-résumé :
admis refus totaux↓
dossier --> 6% 4% 10%
écrit --> 18% 72% 90%
totaux --> 24% 76% 100%
■ 1°) Tu fais l' arbre en autonomie ?
■ 2°) proba(Dossier∩Admis) = 6% = 0,06
■ 3°) proba(Admis) = 10% x 0,6o + 90% x 0,2o
= 24% = 0,24
■ 4°) on s' intéresse aux Admis :
proba(Ecrit) = 18/24 = 3/4 = 0,75 = 75%
■ seconde partie :
a) X varie de 0 à 7 ; proba = 0,24
donc p* = 1 - 0,24 = 0,76 .
b) p(0 reçu) = 0,76^7 ≈ 0,146
p(1 reçu) = 7 x 0,24 x 0,76^6 ≈ 0,324
p(2 reçus) = 21 x 0,24² x 0,76^5 ≈ 0,307
p(3 reçus) = 35 x 0,24³ x 0,76^4 ≈ 0,161
p(4 reçus) = 35 x 0,24^4 x 0,76³ ≈ 0,051
p(5 reçus) = 21 x 0,24^5 x 0,76² ≈ 0,01o
p(6 reçus) = 7 x 0,24^6 x 0,76 ≈ 0,001
p(7 reçus) = 0,24^7 ≈ 0,146452 ≈ 0,00005
l' arrondi au centième est un peu exagéré
--> j' ai arrondi au millième ! ☺
c) p(≥ 2 reçus) = 1 - 0,146 - 0,324 = 0,53 .
■ 2a) proba(0 reçu) = 0,76^n .
■ 2b) on veut résoudre :
1 - 0,76^n ≥ 0,99
0,76^n ≤ 0,01
n ≥ Log0,01 / Log0,76
n ≥ 16,780437
on retient n = 17 .
vérif : 0,76^17 ≈ 0,0094
--> 1 - 0,76^17 ≈ 0,9906 > 0,99