Réponse :

Bonjour,

Exercice 1 :

1.a) x^3 - 75x² + 1875x

C'(x) = 3x² - 75x + 1875

C'(x) = 3(x² - 25x + 625)

or 625 = 25² et x² = x*x

D'où l'identité remarquable suivante :

C'(x) = 3(x-25)²

b) C'(x) est strictement positive car (x-25) est au carré. Il s'ensuit que la fonction C est strictement croissante sur [0;60]

2. a)On déduit du bénéfice le coût de production en posant :

R(x) - C(x) = 675x - (x^3 - 75x² + 1875x) = -x^3 + 75x² - 1200x = B(x).

b)  On a B'(x) = -3x² + 150x - 1200

Or en développant 3(-x+10)(x-40) on trouve : 3(-x² +40x + 10x - 400) = -3x² + 150x - 1200

c) On étudie le signe de -x+10 et de x-40

donc -x+10 <= 0

-x <= -10

x >= 10 (changement de signe)

et x- 40 <= 0

x <= 40

Avec ces informations là tu peux commencer à construire ton tableau de signe et tu déduiras quand c'est positif que la fonction est croissante et quand c'est négatif la fonction decroissante.

Grâce au tableau de signe tu pourras identifier le maximum et répondre à la derniere question.

Exercice 2:

1. f'(x) = 3x² - 48/x²

= 3x^4/x - 48/x²

= 3x^4 - 48   / x²

2. On développe  :  f'(x) = 3* (x^4 - 16)/ x² = 3x^4 - 48  / x²

3. Tu peux en déduire facilement le tableau de variation de f.

x² est tjrs positif donc tu n'as pas besoin d'étudier son signe.

x²+4 est toujours positif donc tu n'as pas besoin d'étudier son signe non plus.

Tu étudies le signe de x²-4 :

x² - 4 >= 0

x² >= 4

x >= 2 ou x <= -2

f'(x) est négatif entre -2 et 2

ainsi la fonction f est décroissante sur [1;2] et croissante sur ]2;3]