Resposta: A partir dos dados fornecidos pelo problema e dos devidos cálculos que realizaremos, é possível verificar que o valor “n” é igual a 12.
Nosso objetivo é calcular o valor da variável "n" na seguinte equação que inclui um fatorial:
[tex]\sf (n - 6)!= 720[/tex]
Agora vamos lembrar que em matemática, o fatorial de um número é igual ao produto de todos os inteiros positivos de 1 a esse número. Além disso, o fatorial de um número é representado por um ponto de exclamação (!) após o número.
Por exemplo, para determinar o fatorial do número n, também chamado de fatorial n, temos que multiplicar o número n por todos os inteiros antes dele (começando com um):
Então para encontrar o valor da variável "n" nesta equação devemos realizar o fatorial da expressão [tex]\sf (n -6)![/tex], mas podemos ver que realizar todas essas operações seria um pouco complexo, então o que vamos fazer é recapitular todos os fatoriais de 1 a 6.
E de que me serve isso? Vamos ver porque recapitular todos os fatoriais de 1 a 6 é importante para a solução do problema, podemos ver que na expressão (vi) ou o fatorial de 6 é igual a 720 e se podemos ver em nossa equação com fatorial vemos que temos o número 720 na outra parte de sua igualdade, então isso serviu para simplificar essa equação dessa outra nova maneira:
Agora o que podemos fazer é eliminar o fatorial de ambas as partes da nossa igualdade e fazendo isso obtemos essa equação que é ainda mais fácil de resolver:
Embora não acreditemos nisso, essa mesma equação é a mesma equação que tínhamos desde o início do nosso problema e agora como já temos essa equação mais simples de resolver podemos despejar a variável "n" dessa nova equação de tal forma que obtemos:
Conclusão: Feitos os cálculos chegamos à conclusão que o valor da variável “n” em nossa equação é igual a 12, isso significa que a alternativa a. é correta.
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Resposta: A partir dos dados fornecidos pelo problema e dos devidos cálculos que realizaremos, é possível verificar que o valor “n” é igual a 12.
[tex]\sf (n - 6)!= 720[/tex]
Agora vamos lembrar que em matemática, o fatorial de um número é igual ao produto de todos os inteiros positivos de 1 a esse número. Além disso, o fatorial de um número é representado por um ponto de exclamação (!) após o número.
Por exemplo, para determinar o fatorial do número n, também chamado de fatorial n, temos que multiplicar o número n por todos os inteiros antes dele (começando com um):
[tex]\sf n! = 1\cdot 2\cdot \cdot 3\cdot \dots \cdot (n - 2)\cdot (n - 1)\cdot n[/tex]
Essa multiplicação também pode ser representada usando o operador produto da seguinte forma:
[tex] \displaystyle\sf n!=\prod^n_{k =1} \limits k[/tex]
Então para encontrar o valor da variável "n" nesta equação devemos realizar o fatorial da expressão [tex]\sf (n -6)![/tex], mas podemos ver que realizar todas essas operações seria um pouco complexo, então o que vamos fazer é recapitular todos os fatoriais de 1 a 6.
[tex]\begin{cases}\sf 1! = 1~\rm{(i)}\\\\\sf 2! = 2\cdot 1=2~\rm{(ii)} \\ \\ \sf 3! =3 \cdot 2\cdot 1=6~\rm{(iii)} \\ \\ \sf \sf 4! = 4 \cdot3 \cdot2\cdot 1=24~\rm{(iv)} \\ \\ \sf 5! = 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=120~\rm{(v})\\\\ \sf 6!= 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=720~\rm{(vi)}\end{cases}[/tex]
E de que me serve isso? Vamos ver porque recapitular todos os fatoriais de 1 a 6 é importante para a solução do problema, podemos ver que na expressão (vi) ou o fatorial de 6 é igual a 720 e se podemos ver em nossa equação com fatorial vemos que temos o número 720 na outra parte de sua igualdade, então isso serviu para simplificar essa equação dessa outra nova maneira:
[tex]\sf\Longrightarrow ~ (n - 6)!= 6!\\\\ \sf\Longleftrightarrow ~ (n - 6)\cancel{!}=6\cancel{!} [/tex]
Agora o que podemos fazer é eliminar o fatorial de ambas as partes da nossa igualdade e fazendo isso obtemos essa equação que é ainda mais fácil de resolver:
[tex]\sf \Longrightarrow ~(n - 6)= 6 \\\\ \sf \Longleftrightarrow~ n - 6= 6[/tex]
Embora não acreditemos nisso, essa mesma equação é a mesma equação que tínhamos desde o início do nosso problema e agora como já temos essa equação mais simples de resolver podemos despejar a variável "n" dessa nova equação de tal forma que obtemos:
[tex]\sf \Longrightarrow~ n = 6 + 6\\\\ \sf \Longleftrightarrow ~ \boxed{\sf n=12}[/tex]
Conclusão: Feitos os cálculos chegamos à conclusão que o valor da variável “n” em nossa equação é igual a 12, isso significa que a alternativa a. é correta.