Resposta:

Devemos manipular a equação para que ela fique sob a seguinte forma:

[tex]\left(x - a\right)^2 + \left(y - b \right)^2 = r^2,[/tex]

onde [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex] são a abscissa e a ordenada do centro da circunferência, respectivamente, e [tex]r[/tex] é o comprimento de seu raio.

Temos:

[tex]x^2 + y^2 + 16x - 20y + 4 = 0\\\\\Longleftrightarrow \left(x^2 + 16x \right) + \left(y^2 - 20y \right) + 4 = 0\\\\\Longleftrightarrow \left(x^2 + 16x + 64 \right)-64 + \left(y^2 - 20y + 100 \right)-100 + 4 = 0\\\\\Longleftrightarrow \left(x + 8\right)^2 - 64 + \left(y - 10\right)^2 - 100 + 4 = 0\\\\\Longleftrightarrow \left(x+8\right)^2 + \left(y - 10 \right)^2 = 160\\\\\Longleftrightarrow \left(x+8\right)^2 + \left(y - 10 \right)^2 = \left(4\sqrt{10}\right)^2[/tex]

Assim, o centro da circunferência é o ponto de coordenadas [tex]\left(-8, 10\right)[/tex] e seu raio tem comprimento de [tex]4\sqrt{10}[/tex].