Resposta:

Explicação passo a passo:

Primeiro, temos q calcular a integral de cada parcela, pois a integral da soma é igual a soma da integral das parcelas dessa soma.

[tex]\int\limits^a_b [{lnx+\sqrt{x} +5}] \, dx=\int\limits^a_b {lnx} \, dx+\int\limits^a_b {\sqrt{x} } \, dx +\int\limits^a_b {5} \, dx[/tex]

*desconsidere os limites de integração "a" e "b".

[tex]\int\limits^a_b {lnx} \, dx =\int\limits^a_b {lnx}.1 \, dx \\[/tex]

veja q 1dx=d(x)/dx, nesse caso, se 1dx=du, lnx=v e (1/x)dx=dv. Podemos agora realizar a integração por partes:

[tex]\int\limits^a_b {v} \, du=v.u-\int\limits^a_b {u} \, dv\\[/tex]

[tex]\int\limits^a_b {lnx} \, dx =lnx.x-\int\limits^a_b {x/x} \, dx=xlnx-x+C1[/tex]

[tex]\int\limits^a_b {\sqrt{x} } \, dx =\int\limits^a_b {x^{1/2} } \, dx=(2/3)x^{3/2}+C2[/tex]

[tex]\int\limits^a_b {5} \, dx =5x+C3[/tex]

[tex]\int\limits^a_b [{lnx+\sqrt{x} +5}] \, dx=\int\limits^a_b {lnx} \, dx+\int\limits^a_b {\sqrt{x} } \, dx +\int\limits^a_b {5} \, dx=xlnx+(2/3)x^{3/2}+4x+C[/tex]

alternativa "a".

Resposta:

Letra A

Explicação passo a passo:

[tex]\displaystyle\int (lnx + \sqrt{x} +5x)dx\\\\C\acute alculos ~auxiliares:\\\\lnx=u \implies \frac{1}{x} *dx=du~e ~x=e^{u} \\\\dx=dv\implies x=v\\\\\displaystyle\int udv=uv-\displaystyle\int vdu\\\\\displaystyle\int lnxdx=lnx*x-\displaystyle\int x*\frac{1}{x} dx=xlnx-\displaystyle\int dx= xlnx-x[/tex]

[tex]\displaystyle\int \sqrt{x} dx=\displaystyle\int x^{\frac{1}{2} } dx=\frac{x^{\frac{3}{2} } }{\frac{3}{2} }=\frac{2x^{\frac{3}{2} } }{3}\\\\\displaystyle\int 5dx=5\displaystyle\int dx=5x[/tex]

[tex]\displaystyle\int (lnx+\sqrt{x} +5x)dx=xlnx-x+\frac{2x^{\frac{3}{2} } }{3} +5x + C=xlnx+\frac{2x^{\frac{3}{2} } }{3} +4x+C[/tex]