Resposta:

∫ e^x * cos(2x) dx

Fazendo por partes:

u=cos(2x)  ==>du=-2*sen(2x) dx

dv=e^x dx ==>∫ dv= ∫e^x dx  ==>v=e^x

∫ e^x * cos(2x) dx = e^(x) * cos(2x)- ∫ e^x (-2*sen(2x) dx)

∫ e^x * cos(2x) dx = e^(x) * cos(2x)+2* ∫ e^x * sen(2x) dx     (i)

∫ e^x * sen(2x) dx

Fazendo por partes

u=sen(2x)  ==>du=2*cos(2x) dx

dv=e^x dx ==>∫ dv= ∫e^x dx  ==>v=e^x

∫ e^x * sen(2x) dx =e^(x) * sen(2x)- ∫ e^x (2*cos(2x) dx)

∫ e^x * sen(2x) dx =e^(x) * sen(2x)- 2*∫ e^x * cos(2x) dx   (ii)

(ii)  em (i)  

∫ e^x * cos(2x) dx = e^(x) * cos(2x)+2* [e^(x) * sen(2x)- 2*∫ e^x * cos(2x) dx]

∫ e^x * cos(2x) dx = e^(x) * cos(2x)+2* e^(x) * sen(2x)- 4*∫ e^x * cos(2x) dx

5∫ e^x * cos(2x) dx = e^(x) * cos(2x)+2* e^(x) * sen(2x)

∫ e^x * cos(2x) dx =e^(x) * [cos(2x) +2 * sen(2x)]/5 + c

Letra A

Resposta:

Letra A

Explicação passo a passo:

[tex]\displaystyle\int e^xcos(2x)de= ?\\[/tex]

Integração por partes:

Fazendo:

cos(2x) = u ⇒ -sen(2x).2dx = du ⇒ -2sen(2x)de = du

eˣdx = dv ⇒ ∫eˣdx = ∫dv ⇒ eˣ = v

[tex]\displaystyle\int udv=uv-\displaystyle\int vdu\\\\\displaystyle\int e^xcos(2x)dx=cos(2x).e^x-\displaystyle\int e^x(-2sen(2x)dx\\\\\displaystyle\int e^xcos(2x)dx=e^xcos(2x)+2\displaystyle\int e^xsen(2x)dx[/tex]

Usando a integração por partes novamente:

sen(2x) = U ⇒ cos(2x).2dx = dU ⇒ 2cos(2x)dx = dU

eˣ = dV ⇒ ∫ eˣdx = ∫dV ⇒ eˣ = V

[tex]\displaystyle\int e^xcos(2x)dx=e^xcos(2x)+2[sen(2x).e^x-\displaystyle\int 2cos(2x)dx]\\\\\displaystyle\int e^xcos(2x)dx=e^xcos(2x)+2e^xsen(2x)-4\displaystyle\int cos(2x)dx\\\\\displaystyle\int e^xcos(2x)dx + 4\displaystyle\int cos(2x)=e^xcos(2x)+2e^xsen(2x)\\\\5\displaystyle\int e^xcos(2x)dx=e^xcos(2x)+2e^xsen(2x)\\\\\displaystyle\int e^xcos(2x)dx=\frac{e^x[cos(2x)+2sen(2x)]}{5} +C[/tex]