Portanto, a lei de formação da função é:

• letra a) [tex]f\left(x\right)\:=\:2^{-x}\:+\:2[/tex]

Função Exponencial

Vamos utilizar as informações sobre os valores de f(0), f(1) e f(2) para encontrar os valores de a, b e c. Sabemos que f(0) = 3, portanto:

[tex]f\left(0\right)\:=\:a^{\left(b\cdot 0\right)}\:+\:c[/tex]

[tex]3\:=\:a^0\:+\:c[/tex]

[tex]3 = 1 + c[/tex]

[tex]c = 2[/tex]

Agora, podemos usar as informações de f(1) e f(2) para encontrar os valores de a e b. Sabemos que a+b=3, então podemos reescrever b como b=3-a. Assim:

[tex]f\left(1\right)\:=\:a^{\left(b\cdot 1\right)}\:+\:c[/tex]

[tex]4\:=\:a^{\left(3-a\right)}\:+\:2[/tex]

[tex]f\left(2\right)\:=\:a^{\left(b\cdot 2\right)}\:+\:c[/tex]

[tex]6\:=\:a^{\left(2b\right)}\:+\:2[/tex]

Podemos usar a equação f(1) para isolar [tex]a^{\left(3-a\right)}[/tex]:

[tex]4\:-\:2\:=\:a^{\left(3-a\right)}[/tex]

[tex]2\:=\:a^{\left(3-a\right)}[/tex]

E podemos usar a equação f(2) para substituir [tex]a^{\left(2b\right)}[/tex] por [tex]\left(a^b\right)^2[/tex]:

[tex]6\:=\:\left(a^b\right)^2\:+\:2[/tex]

[tex]\left(a^b\right)^2\:=\:4[/tex]

[tex]a^b\:=\:2\:ou\:a^b\:=\:-2[/tex]

Se [tex]a^b\:=\:-2[/tex], então a e b precisam ter sinais opostos e [tex]a+b=3[/tex], o que não é possível, pois não há solução real para a e b nesse caso. Portanto, [tex]a^b\:=\:2[/tex].

Agora podemos usar a equação f(1) novamente para encontrar o valor de a:

[tex]4\:=\:a^{\left(3-a\right)}\:+\:2[/tex]

[tex]2\:=\:a^{\left(3-a\right)}[/tex]

[tex]a\:=\:2^{\left(\dfrac{1}{3-a}\right)}[/tex]

E podemos usar a equação a+b=3 para encontrar o valor de b:

[tex]a+b = 3[/tex]

[tex]2^{\left(\dfrac{1}{3-a}\right)}\:+\:b\:=\:3[/tex]

[tex]b\:=\:3\:-\:2^{\left(\dfrac{1}{3-a}\right)}[/tex]

Assim, encontramos os valores de a, b e c:

[tex]a\:=\:2^{\left(\dfrac{1}{3-a}\right)}[/tex]

[tex]b\:=\:3\:-\:2^{\left(\dfrac{1}{3-a}\right)}[/tex]

[tex]c = 2[/tex]

Substituindo na forma geral da função exponencial, obtemos:

[tex]f\left(x\right)\:=\:a^{\left(bx\right)}\:+\:c[/tex]

[tex]f\left(x\right)\:=\:2^{\left(x\left(3-2^{\left(1/\left(3-a\right)\right)}\right)\right)}\:+\:2[/tex]

Portanto, a alternativa correta é a letra a) [tex]f\left(x\right)\:=\:2^{-x}\:+\:2[/tex].

Saiba mais sobre Função Exponencial: https://brainly.com.br/tarefa/6376792

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