Resposta:

Explicação passo a passo:

MARQUEM COMO 5 ESTRELAS POR FAVOR AGRADEÇO MUITO

(x) = 4x^5 + x^4 tem um único ponto de máximo absoluto em x = -1/5.

Explicação passo a passo:

Para determinar os extremos absolutos da função f(x) = 4x^5 + x^4, podemos usar o seguinte método:

Calculamos a primeira derivada da função f(x) para encontrar os pontos críticos, isto é, os valores de x onde f'(x) = 0 ou f'(x) é indefinida.

Calculamos a segunda derivada da função f(x) para determinar a concavidade da função nos pontos críticos.

Usando a informação da concavidade, podemos classificar os pontos críticos como pontos de máximo ou mínimo.

Vamos começar calculando a primeira derivada da função f(x):

f(x) = 4x^5 + x^4

f'(x) = 20x^4 + 4x^3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos:

f'(x) = 0

20x^4 + 4x^3 = 0

4x^3(5x + 1) = 0

x = 0 ou x = -1/5

Observe que a primeira derivada é definida para todo x, portanto não há valores de x para os quais f'(x) é indefinida.

Vamos agora calcular a segunda derivada da função f(x):

f''(x) = 80x^3 + 12x^2

Agora, vamos determinar a concavidade da função nos pontos críticos:

Para x = 0:

f''(0) = 0, portanto não podemos determinar a concavidade usando a segunda derivada.

Para x = -1/5:

f''(-1/5) = -16/25, que é negativo. Portanto, a função é côncava para baixo neste ponto.

Agora podemos classificar os pontos críticos como pontos de máximo ou mínimo:

Para x = 0:

Não podemos classificar este ponto usando a informação da segunda derivada.

Para x = -1/5:

Como a função é côncava para baixo neste ponto, x = -1/5 é um ponto de máximo absoluto.

Portanto, a função f(x) = 4x^5 + x^4 tem um único ponto de máximo absoluto em x = -1/5.

Para determinar se a função f(x) = 4x^5 + 5x^4 tem extremos absolutos, podemos utilizar a derivada da função. Primeiro, derivamos a função f(x) em relação a x:

f'(x) = 20x^4 + 20x^3

Agora, igualamos a derivada a zero para encontrar os pontos críticos da função:

20x^4 + 20x^3 = 0

Dividindo por 20, obtemos:

x^4 + x^3 = 0

Fatorando x^3, temos:

x^3(x + 1) = 0

Portanto, os pontos críticos são x = 0 e x = -1.

Agora, precisamos determinar se esses pontos são máximos ou mínimos. Podemos utilizar a segunda derivada para isso. Derivando a função f'(x), temos:

f''(x) = 80x^3 + 60x^2

Avaliando a segunda derivada nos pontos críticos, temos:

f''(0) = 80(0)^3 + 60(0)^2 = 0

f''(-1) = 80(-1)^3 + 60(-1)^2 = -20 < 0

Como a segunda derivada é negativa em x = -1, podemos concluir que x = -1 é um máximo absoluto.

Portanto, a resposta correta é a alternativa B: Tem máximo absoluto em x = -1.