Dans une entreprise, les stocks d'un produit varient d'une semaine sur l'autre en fonction de la demande des clients. Ainsi, certains produits très demandés sont approvisionnés fréquemment et d'autres plus rarement.
Un gestionnaire des stocks a constaté que :
• Il a approvisionné un produit la première semaine ;
• s'il l'a approvisionné la n-ième semaine, alors la probabilité qu'il doive l'approvisionner la (n+1)-ième semaine est 0,6;
• s'il ne l'a pas approvisionné la n-ième semaine, alors la probabilité qu'il doive l'approvisionner la (n+1)-ième semaine est 0,4;
On note A, l'événement « le gestionnaire des stocks approvisionne le produit la n-ième semaine » et P₁=P(A₂).

1. a) Quelle est la valeur de p₁. Justifier.

b) Compléter l'arbre pondéré ci-contre en utilisant Pn et des probabilités de l'énoncé.

c) Exprimer P(An inter An+1) puis P(Ān inter An+1) en fonction de Pn.

d) En déduire que Pn+1=0,4+0,2 pn

2. Soit u la suite définie pour tout entier naturel n≥1 par : un = Pn-0,5.
a) Démontrer que la suite u est géométrique.

b) En déduire une expression de Pn en fonction de n.

c) Quelle est la probabilité que le gestionnaire approvisionne le produit la 15e semaine ?

d) Que semble-t-il se passer après la quinzième semaine ?​