A área da região limitada pelas curvas y = 4x e y = x³ é 4 unidades de área, alternativa E.

Integral

Para calcular a área entre curvas, utilizamos a integral dupla com uma região determinada entre essas curvas.

Neste caso, dada a região R abaixo, os extremos serão os intervalos de integração:

0 ≤ x ≤ 2

x³ ≤ y ≤ 4x

Podemos escrever:

[tex]A=\displaystyle\int\limits^2_0 \int\limits^{4x}_{x^3} \, dy \, dx[/tex]

Integrando em relação a y, teremos:

[tex]A=\displaystyle\int\limits^2_0 4x - x^3 \, dx[/tex]

Integrando em relação a x, teremos:

[tex]A=\left[\dfrac{4x^2}{2} - \dfrac{x^4}{4} \right]^2_0[/tex]

Aplicando os limites de integração, a área delimitada por essas curvas é:

A = (4·2²/2 - 2⁴/4) - (4·0²/2 - 0⁴/4)

A = 8 - 4

A = 4 unidades de área

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