Resposta:

[tex]\boxed{\int e^{2x}cos(2x)dx=\dfrac{1}{4} e^{2x}(sen(2x) +cos(2x))+k,~~k\in R}[/tex]

Explicação passo a passo:

Para esse tipo de integral é comum usar a técnica de integração por partes. Utilizaremos da seguinte relação

[tex]\boxed{\int udv=uv-\int vdu}[/tex]

Tomando [tex]u=e^{2x}~~\Rightarrow~~du=2e^{2x}dx[/tex] e [tex]dv=cos(2x)dx~~\Rightarrow~~v=\dfrac{sen(2x)}{2}[/tex]. Substituindo

[tex]\int e^{2x}cos(2x)dx=e^{2x}.\dfrac{sen(2x)}{2} -\int \dfrac{sen(2x)}{2} .2e^{2x}dx[/tex]

[tex]\int e^{2x}cos(2x)dx=e^{2x}.\dfrac{sen(2x)}{2} -\int e^{2x}sen(2x)}dx[/tex]

Vamos fazer novamente a integração por partes. Tomando [tex]u=e^{2x}~~\Rightarrow~~du=2e^{2x}dx[/tex] e [tex]dv=sen(2x)~~\Rightarrow~~v=\dfrac{-cos(2x)}{2}[/tex]. Substituindo

[tex]\int e^{2x}cos(2x)dx=e^{2x}.\dfrac{sen(2x)}{2} -[-e^{2x}.\dfrac{cos(2x)}{2} -\int-\dfrac{cos(2x)}{2} .2e^{2x}dx]\\ \\ \int e^{2x}cos(2x)dx=e^{2x}.\dfrac{sen(2x)}{2} +e^{2x}.\dfrac{cos(2x)}{2} -\int e^{2x}cos(2x).dx\\ \\ 2\int e^{2x}cos(2x)dx=\dfrac{e^{2x}}{2} (sen(2x) +cos(2x))[/tex]

[tex]\boxed{\bf \int e^{2x}cos(2x)dx=\dfrac{1}{4} e^{2x}(sen(2x) +cos(2x))+k,~~k\in R}[/tex]