Em 1988, o banco A chegou a pagar o equivalente a R$ 4.200,00 para aplicações de R$ 1.000,00 pelo pra zo de um ano. Na data da aplicação, o investidor, além do preço ajustado, recolhia 9% de imposto de renda sobre a diferença entre o valor final e o valor aplicado. Qual a taxa nominal e qual a taxa e fetiva que o negócio proporcionava em um ano?
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Primeiro, vamos determinar o valor final da aplicação. Sabemos que o valor aplicado foi de R$ 1.000,00 e o valor recebido foi de R$ 4.200,00. Portanto, a diferença entre esses dois valores é de R$ 3.200,00.
A taxa de imposto de renda é de 9%. Portanto, o imposto de renda a ser pago é de 9% de R$ 3.200,00, que é igual a R$ 288,00. Subtraindo esse valor do valor final, temos R$ 4.200,00 - R$ 288,00 = R$ 3.912,00.
Agora, podemos calcular a taxa nominal. Como o período da aplicação é de um ano, a taxa nominal será a diferença entre o valor final e o valor aplicado, dividida pelo valor aplicado. Portanto, a taxa nominal é (R$ 3.912,00 - R$ 1.000,00) / R$ 1.000,00 = 2,912.
Para calcular a taxa efetiva, vamos usar a fórmula de taxa efetiva em juros compostos: (1 + taxa efetiva) = (1 + taxa nominal)^(1/n), onde n é o número de períodos. Neste caso, n = 1, pois o período é de um ano. Então, a taxa efetiva é (1 + 2,912)^(1/1) - 1 = 2,912.
Portanto, a taxa nominal é de 291,2% ao ano e a taxa efetiva é de 291,2%.
Resposta:
[tex]\sf{}Segue~a~resposta[/tex]
Explicação passo-a-passo:
Para calcular a taxa nominal e a taxa efetiva do negócio, podemos utilizar a fórmula do valor futuro de uma aplicação:
[tex] \sf{}\[VF = VP \times (1 + i)^n\][/tex]
Onde:
No caso apresentado, temos as seguintes informações:
Podemos utilizar essa fórmula para encontrar o valor de i, a taxa de juros nominal anual.
[tex] \sf{}\[4.200 = 1.000 \times (1 + i)^1\][/tex]
Simplificando a equação:
[tex] \sf{}\[(1 + i) = \cfrac{4.200}{1.000}\][/tex]
[tex] \sf{}\[(1 + i) = 4.2\][/tex]
[tex] \sf{}\[i = 4.2 - 1\][/tex]
[tex] \sf{}\[i = 3.2\][/tex]
Portanto, a taxa nominal é de 3.2.
Agora, para calcular a taxa efetiva, devemos considerar o desconto de 9% de imposto de renda sobre a diferença entre o valor final e o valor aplicado.
A diferença entre o valor final e o valor aplicado é:
[tex] \sf{}\[D = VF - VP = 4.200 - 1.000 = 3.200\][/tex]
O imposto de renda é de 9% dessa diferença:
[tex] \sf{}\[IR = 0.09 \times D = 0.09 \times 3.200 = 288\][/tex]
O valor líquido recebido pelo investidor é o valor final menos o imposto de renda:
[tex] \sf{}\[VL = VF - IR = 4.200 - 288 = 3.912\][/tex]
A taxa efetiva é calculada utilizando a fórmula:
[tex] \sf{}\[\text{Taxa Efetiva} = \left(\cfrac{VL}{VP}\right)^{\cfrac{1}{n}} - 1\][/tex]
Substituindo os valores conhecidos:
[tex] \sf{}\[\text{Taxa Efetiva} = \left(\cfrac{3.912}{1.000}\right)^{\cfrac{1}{1}} - 1\][/tex]
Calculando o resultado:
[tex] \sf{}\[\text{Taxa Efetiva} = 3.912 - 1 = 2.912\][/tex]
Portanto, a taxa nominal é de 3.2 e a taxa efetiva é de 2.912.
Bons estudos!