Usemos como exemplo introdutório uma PG de 4 termos, para facilitar o entendimento dos posteriores casos. Chamemos o primeiro termo de [tex]x[/tex] e a razão de [tex]q[/tex]. Desse modo, temos que a PG é [tex]x, xq, xq^2, xq^3[/tex], com o produto dos termos equidistantes do centro sendo [tex]xq \cdot xq^2 = x^2q^3[/tex] e o produto dos termos extremos sendo [tex]x \cdot xq^3 = x^2q^3[/tex]. Portanto a propriedade é válida para uma PG de 4 termos.
Demonstremos que é válida para uma PG de [tex]n[/tex] termos. Evidentemente todos os elementos da PG terão um (e somente um) termo [tex]x[/tex] em sua composição. Digamos que o termo central da PG tem uma quantidade [tex]y[/tex] de [tex]q[/tex]'s, logo, o produto de termos equidistantes ao centro (a uma distância [tex]z[/tex] do centro) é
Perceba que este produto final ([tex]x^2q^{2y}[/tex]) independe de [tex]z[/tex], que era a distância do centro, podendo-se concluir, portanto, que todos os pares de termos equidistantes do centro têm o mesmo produto, e como os extremos de uma PG também são equidistantes do centro, consequentemente estes também tem este valor como seu produto, então a afirmação é verdadeira.
Uma pequena variante do caso de cima é quando o centro tem 2 termos, ou seja, a PG tem uma quantidade par de termos. Digamos que um dos termos desse centro tem uma quantidade [tex]y[/tex] de [tex]q[/tex]'s e o outro tem uma quantidade [tex]y+1[/tex] de [tex]q[/tex]'s. O produto de termos equidistantes a uma distância [tex]z[/tex] do centro é
pois a distância é medida em relação ao termo central mais próximo, ou seja, os termos da esquerda estão a uma distância [tex]z[/tex] de [tex]xq^y[/tex] e os termos da direita estão a uma distância [tex]z[/tex] de [tex]xq^{y+1}[/tex].
Como todas as circunstâncias tratadas nesta atividade independem de [tex]z[/tex], então a afirmação é verdadeira.
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Usemos como exemplo introdutório uma PG de 4 termos, para facilitar o entendimento dos posteriores casos. Chamemos o primeiro termo de [tex]x[/tex] e a razão de [tex]q[/tex]. Desse modo, temos que a PG é [tex]x, xq, xq^2, xq^3[/tex], com o produto dos termos equidistantes do centro sendo [tex]xq \cdot xq^2 = x^2q^3[/tex] e o produto dos termos extremos sendo [tex]x \cdot xq^3 = x^2q^3[/tex]. Portanto a propriedade é válida para uma PG de 4 termos.
Demonstremos que é válida para uma PG de [tex]n[/tex] termos. Evidentemente todos os elementos da PG terão um (e somente um) termo [tex]x[/tex] em sua composição. Digamos que o termo central da PG tem uma quantidade [tex]y[/tex] de [tex]q[/tex]'s, logo, o produto de termos equidistantes ao centro (a uma distância [tex]z[/tex] do centro) é
[tex]xq^{y-z} \cdot xq^{y+z} = x^2q^{y-z + y + z} = x^2q^{2y}[/tex]
Perceba que este produto final ([tex]x^2q^{2y}[/tex]) independe de [tex]z[/tex], que era a distância do centro, podendo-se concluir, portanto, que todos os pares de termos equidistantes do centro têm o mesmo produto, e como os extremos de uma PG também são equidistantes do centro, consequentemente estes também tem este valor como seu produto, então a afirmação é verdadeira.
Uma pequena variante do caso de cima é quando o centro tem 2 termos, ou seja, a PG tem uma quantidade par de termos. Digamos que um dos termos desse centro tem uma quantidade [tex]y[/tex] de [tex]q[/tex]'s e o outro tem uma quantidade [tex]y+1[/tex] de [tex]q[/tex]'s. O produto de termos equidistantes a uma distância [tex]z[/tex] do centro é
[tex]xq^{y-z} \cdot xq^{y+1+z} = x^2q^{y-z+y+1+z} = x^2q^{2y + 1}[/tex]
pois a distância é medida em relação ao termo central mais próximo, ou seja, os termos da esquerda estão a uma distância [tex]z[/tex] de [tex]xq^y[/tex] e os termos da direita estão a uma distância [tex]z[/tex] de [tex]xq^{y+1}[/tex].
Como todas as circunstâncias tratadas nesta atividade independem de [tex]z[/tex], então a afirmação é verdadeira.