Salut je suis en terminale et je suis bloquée dans cette question. L'énoncé est:
Soit f une fonction dérivable sur R et vérifiant:
lim quand x tend vers +∞ de f(x) = lim quand x tend vers -∞ = +∞
1/ Montrer que: (ƎaϵR*-) (ƎbϵR*+): f(b)>f(0)+1 et f(a)>f(0)+1
2/ En déduire que: (Ǝαϵ]a;0[) (Ǝβϵ]0;b[): f(α)=f(β)
J'ai démontré la première question en utilisant la limite mais je ne sais toujours pas la relation entre la première question et la deuxième et la déduction que j'y peux retirer. Alors ça sera très sympa de votre part de m'aider. xoxo
Soit f une fonction dérivable sur R et vérifiant:
lim quand x tend vers +∞ de f(x) = lim quand x tend vers -∞ = +∞
1/ Montrer que: (ƎaϵR*-) (ƎbϵR*+): f(b)>f(0)+1 et f(a)>f(0)+1
2/ En déduire que: (Ǝαϵ]a;0[) (Ǝβϵ]0;b[): f(α)=f(β)
J'ai démontré la première question en utilisant la limite mais je ne sais toujours pas la relation entre la première question et la deuxième et la déduction que j'y peux retirer. Alors ça sera très sympa de votre part de m'aider. xoxo
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Bonjour, pour la deuxième question, à ta place, j'utiliserais le théorème des valeurs intermédiaires...
En effet, admettons que je cherche à résoudre l'équation f(x)=f(0)+1.
La fonction f étant dérivable sur R, elle y est donc continue.
Si je me place sur l'intervalle [a ; 0], d'après la question 1. je sais que :
f(a)>f(0)+1
or, comme 0 < 1 alors, f(0) < f(0) + 1 (en ajoutant f(0) de chaque côté).
Donc, d'après le Théorème des Valeurs Intermédiaires (T.V.I), l'équation f(x)=f(0)+1 admet au moins une solution (alpha) sur l'intervalle ]a ; 0[.
Si je me place sur l'intervalle [0 ; b], d'après la question 1. je sais que :
f(b)>f(0)+1
or, comme 0 < 1 alors f(0) < f(0) + 1 (comme précédemment).
Donc, d'après le T.V.I, l'équation f(x)=f(0)+1 admet au moins une solution (bêta) sur l'intervalle ]0 ; b[.
On a donc f(alpha) = f(0) + 1 = f(bêta).
Voilà, j'espère avoir été suffisamment clair et, si ce n'est pas le cas, alors n'hésite pas, je complèterais.
Bonne journée.