Bonjour,

Le but est de démontrer que f admet une limite finie l en 0. f admettra alors un prolongement par continuité en 0 : f(0) = l

j'ai une piste en revenant à cette propriété de E(x) :

∀x∈R, E(x) ≤ x < E(x) + 1

⇔ E(x) - 1 ≤ x - 1 < E(x)

⇒ x ≥ E(x) > x - 1

⇒ on en déduit :

π/x ≥ E(π/x) > π/x - 1

1) Si x → 0+ : x * π/x  ≥ xE(π/x) > x * (π/x - 1)

⇔ π ≥ xE(π/x) > π - x

donc quand x → 0+ : π ≥ xE(π/x) > π

⇒ xE(π/x) → π

⇒ sin(xE(π/x)) → sin(π) = 0

2) De même, si x → 0- : π ≤ xE(π/x) < π

⇒ lim sin(xE(π/x)) = 0

conclusion : lim f(x) quand x → 0 = 0

⇒ f admet un prolongement par continuité en 0 : f(0) = 0