En janvier 2023, Eudes a décidé de s'acheter un scooter au prix de 5700€ sans apport personnel.
Pour finaliser l'achat, il souscrit un prêt à la consommation auprès de l'entreprise «< Intérêts - D.Matt ». Le montant emprunté est de 5700€ au taux mensuel de 1,5 %. La mensualité de
remboursement est fixée à 300€ et est versée le 25 de chaque mois.
La première mensualité a eu lieu le 25 février 2023.
Dans la suite, on note c,, le capital restant dû, en euros, après le versement de la n-ième mensualité.
On admet que c, 5700.
1) Calcule c1, et C₂.
2) Justifie que Cn+1=1,015 cn-300.
3) En appliquant la méthodologie vue en classe, exprime cn, en fonction de n.
4) Par la méthode de ton choix, trouve en combien de mois le prêt sera remboursé.
Dans la suite, on note i les intérêts à verser au n-ième mois (pour n≥1).
5a) Exprime i, en fonction de cn-1. En déduire une expression explicite de in.
5b) A combien s'élève la totalité des intérêts versés par Eudes ?
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Réponse :
Explications étape par étape :
Pour calculer c1 et c2, nous allons utiliser les informations fournies dans le problème.
c1, le capital restant dû après la première mensualité, peut être calculé comme suit :
c1 = 5700 - 300 = 5400 euros.
c2, le capital restant dû après la deuxième mensualité, peut être calculé en utilisant la formule Cn+1 = 1,015cn - 300. En remplaçant n par 1 (pour la deuxième mensualité) et cn par c1, nous obtenons :
c2 = 1,015 * 5400 - 300 = 5511,5 euros.
La formule Cn+1 = 1,015cn - 300 est une relation de récurrence qui détermine le capital restant dû après chaque mensualité en fonction du capital restant dû précédent et du montant de la mensualité. La soustraction de 300 euros représente le remboursement de la mensualité.
Pour exprimer cn en fonction de n, nous allons utiliser la formule Cn+1 = 1,015cn - 300. En isolant cn, nous obtenons :
cn = (Cn+1 + 300) / 1,015.
Pour trouver en combien de mois le prêt sera remboursé, nous devons continuer à calculer cn jusqu'à ce qu'il devienne nul, ce qui signifierait que le prêt est intégralement remboursé.
5a) Pour exprimer i en fonction de cn-1, nous allons utiliser la formule des intérêts qui est i = (taux d'intérêt mensuel) * (capital restant dû précédent). Le taux d'intérêt mensuel est de 1,5% ou 0,015 en décimal.
Donc, i = 0,015 * cn-1.
Ensuite, pour obtenir une expression explicite de in, il suffit de remplacer cn-1 par sa valeur en fonction de n (comme trouvée à la question 3) :
in = 0,015 * [(Cn + 300) / 1,015 - 300].
5b) Pour déterminer la totalité des intérêts versés par Eudes, il faut additionner tous les intérêts mensuels pour chaque mois jusqu'à la fin du prêt. Vous pouvez utiliser la formule in trouvée à la question 5a. Pour déterminer en combien de mois le prêt sera remboursé, vous pouvez continuer à calculer cn jusqu'à ce qu'il atteigne zéro (ou soit très proche de zéro en raison des arrondis). Une fois que c'est le cas, vous aurez le nombre de mois nécessaires pour rembourser le prêt.