Exercice 3 Formule explicite de la somme des n premiers entiers naturels. (BONUS: Vers la lère spé maths.)

Johann Karl Friedrich Gauss était un mathématicien allemand considéré comme l'un des plus grands mathématiciens de l'histoire. Une légende raconte qu'âgé alors de 10 ans, son professeur de mathématiques lui demanda, pour l'occuper de calculer la somme des 100. premiers entiers naturels, c'est à dire de déterminer S=1+2+3+4+...+98 +99+100.

De prime abord, le calcul s'annonce fastidieux. Pourtant, Gauss aurait répondu 5050 presque immédiatement. Comment a-t-il fait ? L'idée est la suivante : On écrit

S=1+2+3+4+...+97+98 +99 +100
S= 100+99 +98 +97+...+4+3+2+1.

On va alors calculer 2S = S + S. 1.

Que valent 1 + 100, 2+99, 3+98 etc?

2. Expliquer pourquoi 25= 101 +101 + 101 +101 +...+101 + 101 +101 + 101.

3. Expliquer pourquoi 2S = 101 x 100.

4. En déduire la valeur de S.

5. On rappelle que pour tout entier naturel n non nul, T = 1+2+3+...+n.

6. Montrer que pour tout entier naturel n non nul, T, = n(n+¹), en procédant comme pour les premières questions.​