Réponse:

Pour démontrer que la droite (D) est tangente à la courbe C en deux points, nous devons montrer que les coordonnées des points d'intersection de la droite et de la courbe vérifient deux conditions :

1. Les coordonnées des points d'intersection doivent satisfaire l'équation de la droite (D) : y = 2x - 1.

2. Les coordonnées des points d'intersection doivent également satisfaire l'équation de la courbe C : y = -2x² + 2x.

Pour trouver les points d'intersection, nous pouvons égaler les deux équations :

-2x² + 2x = 2x - 1

En simplifiant cette équation, nous obtenons :

-2x² + 2x - 2x + 1 = 0

-2x² + 1 = 0

Maintenant, nous pouvons résoudre cette équation quadratique en utilisant la formule quadratique ou discriminant :

Δ = b² - 4ac

Dans notre cas, a = -2, b = 0 et c = 1. En substituant ces valeurs dans la formule, nous obtenons :

Δ = 0² - 4(-2)(1) = 8

Puisque le discriminant Δ est positif, cela signifie que l'équation a deux solutions réelles distinctes.

Nous pouvons utiliser la formule pour trouver les valeurs de x :

x = (-b ± √Δ) / (2a)

En substituant les valeurs, nous avons :

x = (0 ± √8) / (-4)

x₁ = (√8) / (-4) = -√2 / 2

x₂ = (-√8) / (-4) = √2 / 2

Maintenant, nous pouvons trouver les valeurs correspondantes de y en substituant les valeurs de x dans l'une des équations (D) ou (C).

Pour x = -√2 / 2 :

y = 2(-√2 / 2) - 1 = -√2 - 1

Pour x = √2 / 2 :

y = 2(√2 / 2) -