Réponse :

Bonjour,exercice intéressant!

Explications étape par étape

1) f(x) est définie sur R  Df=R

2) limites si x tend vers -oo, e^x³ tend vers 0 et x² tend vers +oo donc f(x) tend vers +oo

si x tend vers +oo f(x) tend vers +oo

3)dérivée f'(x)=3x² (e^x³)+2x=x[3x(e^x³)+2]

On note que f'(x)=0 pour x=0 et pour les solutions de 3x(e^x³)+2=0 si elles existent.

Etude de la fonction secondaire g(x)=3x(e^x³)+2

Df=R

limites si x tend vers -oo g(x) tend vers+2 et si x tend vers+oo, g(x) tend vers +oo

Dérivée: g'(x)=3e^x³+9x³(e^x³)=e^x³(3+9x³)

g'(x)=0 si x³=-1/3 soit x=-rac cubique de 1/3

On note que g(-rac cubique de 1/3) est >0  donc g(x) est toujours >0

On en conclut que f'(x) =0 pour x=0 (unique solution)

Tableau de signes de f'(x) et de variations de f(x)

x      -oo                              0                                           +oo

f'(x)....................-......................0....................+............................

f(x)+o....décroi.......................f(0)..............croi.....................+oo

pour info f(0)=1

Equation de la tangente au point d'abscisse x=-1

y=f'(-1)(x+1)+f(-1) formule connue et à appliquer

Et reste à remplacer et effectuer les calculs

j'ai rouvé: y=(3/e-2)x+4/e-1

Vérifie quand même mes calculs.