La partie incriptible d’un CD audio est une couronne de rayons 25 et 55 mm.Un faisceau laser lit la musique en allant de l’intérieur de cette couronne vers l’extérieur .
On note note x la distance en millimètre du laser au bord du cercle intérieur après lecture d’une partie de la musique .
1. À quel intervalle I appartient x?
2a. Justifier que l’aire S(x) de la couronne de largeur x est égale S(x) = pi π ( 25 + x ) au carré - pi π x 25 au carré . En déduire que , pour tout x ∈ I,S(x) = pi π x au carré - 50 π x .
b. Calculer S(0) : ce résultat est - il prévisible ?
c. Montrer que S (30) = 2400 π et interprété le résultat.
On note note x la distance en millimètre du laser au bord du cercle intérieur après lecture d’une partie de la musique .
1. À quel intervalle I appartient x?
2a. Justifier que l’aire S(x) de la couronne de largeur x est égale S(x) = pi π ( 25 + x ) au carré - pi π x 25 au carré . En déduire que , pour tout x ∈ I,S(x) = pi π x au carré - 50 π x .
b. Calculer S(0) : ce résultat est - il prévisible ?
c. Montrer que S (30) = 2400 π et interprété le résultat.
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Réponse :
1) La différence entre les deux rayons est 30 mm donc x ∈ [0;30]
2) a) L'intérieur du CD est un disque de rayon 25 mm donc son aire est
π * 25^2. Le disque de rayon (25 + x) a pour aire π * (25 +x)^2. Donc pour tout x ∈ [0:30] S(x) = π(25 + x)^2 - π * 25^2 Par conséquent pour tout x ∈ [0:30] S(x) = π (625 + 50x + x^2) - 625π = π x^2 + 50π x
b) S(0) = π0^2 + 50π * 0 = 0 ce résultat est donc prévisible car pour x = 0 la couronne est réduite à un cercle d'aire nulle.
c) S(30= = π * 30^2 + 50π * 30 = 900π + 1500π = 2400π
S(30) correspond à l'air totale inscriptible sur le CD audio
Réponse :
Explications étape par étape :
■ BONSOIR !
■ Aire disque = π * R² ♥
■ il est évident que 0 ≤ x ≤ 30 mm .
( car 55 - 25 = 30 mm )
■ Aire couronne = π * (x+25)² - π * 25²
= πx² + 50πx + π*25² - π*25²
= πx² + 50πx
= πx (x + 50) .
■ S(0) = zéro --> c' est normal ! ☺
■ S(30) = 30π (30 + 50) = 30π * 80
= 2400π
≈ 7540 mm² --> soit 75,4 cm² environ !
il s' agit de la surface " gravable " du cd !