Usando as leis das Progressões Aritmética e Geométrica , obtém-se:

1) b) 127 números ímpares

2) d) - 2 - a

3)  e) N.R.A.

4)  e) N.R.A  

5)  c) 2187

1)

Neste caso é uma P.A.

Veja-se:

• após o 18 o primeiro impar é o 19
• o seguinte é o 21
• outro a seguir é 23
• o último termo é 271

[tex]\Large\text{$21-19=2$}[/tex]

e

[tex]\Large\text{$23-21=2$}[/tex]

[tex]\Large\text{$raz\tilde{a}o~da~P.A.=~2$}[/tex]

Progressão Aritmética:

• aquela em que a diferença de dois termos consecutivos é constante.

Termo Geral

[tex]\Large\text{$a_{n}=a_{1} +(n-1)\cdot r $}[/tex]

[tex]\Large\text{$a_{n}$}[/tex] = termo que se quer calcular

[tex]\Large\text{$a_{1}$}[/tex]  = primeiro termo da progressão

[tex]\Large\text{$n$}[/tex]  = a posição de um termo que seja procurado

[tex]\Large\text{$r$}[/tex]  = razão

Neste caso o número de números ímpares está numa P.A. :

• começa em 19

• termina em 271

[tex]\Large\text{$271=19 +(n-1)\cdot 2 $}[/tex]

[tex]\Large\text{$271=19 +2n-2 $}[/tex]

[tex]\Large\text{$271-19+2=2n $}[/tex]

[tex]\Large\text{$254=2n $}[/tex]

[tex]\boxed{\Large\text{$n=127$}}[/tex]

2)

[tex]\Large\text{$a_{1}=1-a $}[/tex]

[tex]\Large\text{$a_{2}=-a $}[/tex]

[tex]\Large\text{$a_{3}=-1-a$}[/tex]

Fazendo a subtração de dois termos consecutivos:

[tex]\Large\text{$a_{2}-a_{1} =-a-(1-a)$}[/tex]

[tex]\Large\text{$=-a-1+a =-a+a-1=0-1=-1$}[/tex]

[tex]\Large\text{$a_{3}-a_{2} =-1-a-(-a)=-1-a+a=-1+0=-1$}[/tex]

Como é constante a diferença de dois termos consecutivos, tem-se que é uma P.A. que tem de :

[tex]\Large\text{$raz\tilde{a}o~da~P.A.=~-1$}[/tex]

o quarto termo será:

[tex]\Large\text{$a_{4} =a_{3}+raz\tilde{a}o $}[/tex]

[tex]\Large\text{$a_{4} =-1-a+(-1) $}[/tex]

[tex]\Large\text{$a_{4} =-2-a$}[/tex]

d)  

3)

Progressão Geométrica

• é aquela em que a divisão de um termo pelo termo anterior é constante ( razão ou quociente)

Encontrar o valor de "a" .

[tex]\Large\text{$a_{1}=a $}[/tex]

[tex]\Large\text{$a_{2}=a +3 $}[/tex]

[tex]\Large\text{$a_{3}=5a -3 $}[/tex]

[tex]\Large\text{$\dfrac{a+3}{a} =\dfrac{5a-3}{a+3} $}[/tex]

Produto cruzado

[tex]\Large\text{$(a+3)\cdot(a+3)=a\cdot (5a-3) $}[/tex]

[tex]\Large\text{$(a+3)^2=5a^2-3a $}[/tex]

[tex]\Large\text{$a^2+2\cdot a\cdot3+3^2=5a^2-3a $}[/tex]

[tex]\Large\text{$-4a^2+9a+9=0 $}[/tex]

Fórmula Resolutiva

[tex]\Large\text{$ \sf x = \dfrac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac}}{2a}$}[/tex]

[tex]\Large\text{$ a=-4$}[/tex]

[tex]\Large\text{$ b=9$}[/tex]

[tex]\Large\text{$ c=9$}[/tex]

[tex]\Large\text{$ \Delta=b^2-4ac=9^2-4\cdot (-4)\cdot 9=81+16\cdot 9=225$}[/tex]

[tex]\Large\text{$\sqrt{ \Delta} =\sqrt{225} =15$}[/tex]

[tex]\Large\text{$ \sf a' = \dfrac{-9 + 15}{2\cdot (-4)}$}[/tex]

[tex]\Large\text{$ \sf a' = \dfrac{6}{-8}$}[/tex]

[tex]\boxed{\Large\text{$ \sf a' =- \dfrac{3}{4}$}}[/tex]

[tex]\Large\text{$ \sf a'' = \dfrac{-9 -15}{-8}$}[/tex]

[tex]\boxed{\Large\text{$ \sf a'' = 3$}}[/tex]

Observação importante

A incógnita "a" na equação do segundo grau, só por acaso é "a".

Não tem nada a ver com o coeficiente "a" do termo em "[tex]x^{2}[/tex] "

Por isso passou a se representar as soluções da equação com os

símbolos

[tex]\Large\text{$ a'~~~e~~~ a''$}[/tex]

[tex]\Large\text{$ Para ~"a"=-\dfrac{3}{4} $}[/tex]

[tex]\Large\text{$ a_{1} =-\dfrac{3}{4} $}[/tex]

[tex]\Large\text{$ a_{2} =-\dfrac{3}{4}+3$}[/tex]

[tex]\Large\text{$ a_{2} =-\dfrac{3}{4}+\dfrac{3}{1} $}[/tex]

[tex]\Large\text{$ a_{2} =-\dfrac{3}{4}+\dfrac{3\cdot4}{1\cdot 4} $}[/tex]

[tex]\Large\text{$ a_{2} =-\dfrac{3}{4}+\dfrac{12}{4} $}[/tex]

[tex]\Large\text{$ a_{2} =\dfrac{12-3}{4} $}[/tex]

[tex]\Large\text{$ a_{2} =\dfrac{9}{4} $}[/tex]

[tex]\Large\text{$ a_{3} =5\cdot(-\dfrac{3}{4})-3 $}[/tex]

[tex]\Large\text{$ a_{3} =-\dfrac{5\cdot3}{4}-\dfrac{3\cdot4}{1\cdot 4} $}[/tex]

[tex]\Large\text{$ a_{3} =-\dfrac{15}{4}-\dfrac{12}{4} $}[/tex]

[tex]\Large\text{$ a_{3} =\dfrac{-15-12}{4} $}[/tex]

[tex]\Large\text{$ a_{3} =-\dfrac{27}{4} $}[/tex]

Tem-se os seguintes três primeiros termos:

[tex]\Large\text{$ a_{1} =-\dfrac{3}{4} ~{;}~ a_{2} =\dfrac{9}{4}~ {;}~a_{3} =-\dfrac{27}{4}$}[/tex]

Verificar se estão em P.G.

[tex]\Large\text{$q= \dfrac{a_{2} }{a_{1} } =\dfrac{a_{3} }{a_{2} } $}[/tex]

[tex]\Large\text{$ \dfrac{a_{2} }{a_{1} } =\dfrac{\dfrac{9}{4} }{-\dfrac{3}{4} } $}[/tex]

[tex]\Large\text{$ \dfrac{a_{2} }{a_{1} } =\dfrac{9}{4} \div({-\dfrac{3}{4}) } $}[/tex]

[tex]\Large\text{$ \dfrac{a_{2} }{a_{1} } =\dfrac{9}{4} \cdot({-\dfrac{4}{3}) } $}[/tex]

[tex]\Large\text{$ \dfrac{a_{2} }{a_{1} } =-\dfrac{9 \cdot4}{4 \cdot 3} $}[/tex]

[tex]\Large\text{$ \dfrac{a_{2} }{a_{1} } =-\dfrac{36}{12} $}[/tex]

[tex]\Large\text{$ \dfrac{a_{2} }{a_{1} } =-3$}[/tex]

Encontrado um possível valor para a razão.

Verificar agora:

[tex]\Large\text{$ \dfrac{a_{3} }{a_{2} } =\frac{-\dfrac{27}{4} }{\dfrac{9}{4} } $}[/tex]

[tex]\Large\text{$ \dfrac{a_{3} }{a_{2} } =-\dfrac{27}{4}\div \dfrac{9}{4} $}[/tex]

[tex]\Large\text{$ \dfrac{a_{3} }{a_{2} } =-\dfrac{27}{4}\cdot\dfrac{4}{9} $}[/tex]

[tex]\Large\text{$ \dfrac{a_{3} }{a_{2} } =-\dfrac{27}{4}\cdot\dfrac{4}{9}=-\dfrac{108}{36}=- 3 $}[/tex]

[tex]\Large\text{$ \dfrac{a_{3} }{a_{2} } =-~3$}[/tex]

Sim

P.G. com razão:

[tex]\boxed{\Large\text{$ q=- 3 $}}[/tex]

Agora:

[tex]\Large\text{$ Para ~"a"=3 $}[/tex]

[tex]\Large\text{$ a_{1} =3 $}[/tex]

[tex]\Large\text{$ ~ a_{2} =3+3=6$}[/tex]

[tex]\Large\text{$ ~a_{3}=5 \cdot 3-3=12~$}[/tex]

[tex]\Large\text{$ a_{1} =3 ~{;}~ a_{2} =6~{;}~a_{3}=12$}[/tex]

Verificar se estão em P.G.

[tex]\Large\text{$ \dfrac{a_{2} }{a_{1} } =\dfrac{a_{3} }{a_{2} } $}[/tex]

[tex]\Large\text{$ \dfrac{a_{2} }{a_{1} } =\dfrac{6}{3}=2 $}[/tex]

[tex]\Large\text{$ \dfrac{a_{3} }{a_{2} } =\Large\text{$ \dfrac{12 }{6} =2$}$}[/tex]

Sim

A sequência destes três primeiros termos está numa P.G. que tem como :

[tex]\boxed{\Large\text{$ q=2 $}}[/tex]

Resumindo:

Quando:

[tex]\Large\text{$ a=-\dfrac{3}{4} $}[/tex]    

tem-se uma P.G com:

[tex]\boxed{\Large\text{$ q=- 3 $}}[/tex]

E quando:

[tex]\Large\text{$ a=3 $}[/tex]

tem-se uma P.G com:

[tex]\boxed{\Large\text{$ q=2 $}}[/tex]

Assim existem dois valores obtidos para "a" servem ambos para criar

Progressões Geométricas com razão ( quociente )

e) N.R.A.

4)

Processo semelhante ao do exercício 3)

[tex]\Large\text{$ a_{1} =a $}[/tex]

[tex]\Large\text{$ a_{2} =a+3 $}[/tex]

[tex]\Large\text{$ a_{3} =5a-3 $}[/tex]

[tex]\Large\text{$ a_{4} =8a$}[/tex]

Com base na definição de razão de uma P.G.

[tex]\Large\text{$ q=\dfrac{a_{2} }{a_{1} }=\dfrac{a_{4} }{a_{3} } $}[/tex]

Ou seja que a divisão de um termo pelo anterior irá ter de dar um valor constante.

[tex]\Large\text{$ \dfrac{a+3}{a } =\dfrac{8a }{5a-3 } $}[/tex]

Produto cruzado

[tex]\Large\text{$~~~ ~~~~~ ~~~(a+3)\cdot{(5a-3) } =8a \cdot a $}[/tex]

[tex]\Large\text{$a\cdot5a+3\cdot 5a+a\cdot (-3)+3\cdot(-3)=8a^2 $}[/tex]

[tex]\Large\text{$5a^2+15a-3a-9-8a^2 =0$}[/tex]

[tex]\Large\text{$(5-8)a^2+(15-3)a-9=0$}[/tex]

[tex]\Large\text{$-3a^2+12a-9=0$}[/tex]

Equação completa do segundo grau.

Resolver pela Fórmula Resolutiva

[tex]\Large\text{$ \sf x = \dfrac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac}}{2a}$}[/tex]

Recolha de informação

[tex]\Large\text{$-3a^2+12a-9=0$}[/tex]

[tex]\Large\text{$ a=-3$}[/tex]

[tex]\Large\text{$ b=12$}[/tex]

[tex]\Large\text{$ c=-9$}[/tex]

[tex]\Large\text{$ \Delta=12^2-4\cdot (-3)\cdot (- 9)=144-108=36$}[/tex]

[tex]\Large\text{$\sqrt{ \Delta} =\sqrt{36}=6 $}[/tex]

[tex]\Large\text{$ a'=\dfrac{-12+6}{2\cdot(-3)} $}[/tex]

[tex]\Large\text{$ a'=\dfrac{-6}{-6} $}[/tex]

[tex]\Large\text{$ a'=1 $}[/tex]

[tex]\Large\text{$ a''=\dfrac{-12-6}{-6} $}[/tex]

[tex]\Large\text{$ a''=\dfrac{-18}{-6} $}[/tex]

[tex]\Large\text{$ a''=3 $}[/tex]

Agora com cada um destes valores para "a" encontrar os quatro termos da sequência.

E verificar se estão ou não em P.G.

[tex]\Large\text{$ Para ~"a"=1 $}[/tex]

[tex]\Large\text{$ a_{1} =1 $}[/tex]

[tex]\Large\text{$ a_{2} =1 +3=4$}[/tex]

[tex]\Large\text{$ a_{3} =5\cdot1-3=2$}[/tex]

[tex]\Large\text{$ a_{4} =8\cdot1=8$}[/tex]

Tem-se então:

[tex]\Large\text{$ a_{1} =1 ~{;}~ a_{2} =4~{;}~a_{3}=2~{;}~a_{4}=8 $}[/tex]

Se esta sequência for uma P.G. verificar-se-á:

[tex]\Large\text{$ \dfrac{a_{2} }{a_{1} } =\dfrac{a_{3} }{a_{2} } =\dfrac{a_{4} }{a_{3} } $}[/tex]

Calcular a primeira fração

[tex]\Large\text{$ \dfrac{a_{2} }{a_{1} } =\dfrac{4 }{1 }=4 $}[/tex]

Agora a segunda fração

[tex]\Large\text{$ \dfrac{a_{3} }{a_{2} } =\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2} $}[/tex]

Falhou a condição para ser P.G. porque :

[tex]\Large\text{$ \dfrac{1}{2} \neq 4$}[/tex]

Nem é necessário calcular

[tex]\Large\text{$ \dfrac{a_{4} }{a_{3} } $}[/tex]

[tex]\Large\text{$ Para ~"a"=3 $}[/tex]

[tex]\Large\text{$ a_{1} =3 $}[/tex]

[tex]\Large\text{$ a_{2} =3 +3=6$}[/tex]

[tex]\Large\text{$ a_{3} =5\cdot 3-3=12$}[/tex]

[tex]\Large\text{$ a_{4} =8\cdot3=24$}[/tex]

Tem-se então:

[tex]\Large\text{$ a_{1} =3 ~{;}~ a_{2} =6~{;}~a_{3}=12~{;}~a_{4}=24 $}[/tex]

Se esta sequência for uma P.G. verificar-se-á:

[tex]\Large\text{$ \dfrac{a_{2} }{a_{1} } =\dfrac{a_{3} }{a_{2} } =\dfrac{a_{4} }{a_{3} } $}[/tex]

[tex]\Large\text{$ \dfrac{a_{2} }{a_{1} } = \dfrac{6}{3 }=2$}[/tex]

[tex]\Large\text{$ \dfrac{a_{3} }{a_{2} } =\dfrac{12 }{6 }=2 $}[/tex]

[tex]\Large\text{$ \dfrac{a_{4} }{a_{3} } = \dfrac{24 }{12 }=2$}[/tex]

Três frações conduzem a um mesmo valor.

[tex]\Large\text{$ a_{1} =3 ~{;}~ a_{2} =6~{;}~a_{3}=12~{;}~a_{4}=24 $}[/tex]

Estão em P.G. e crescente que tem :

[tex]\boxed{\Large\text{$ raz\tilde{a}o=2$}}[/tex]

Logo e) N.R.A.

5)

(anexo 4 )

[tex]\Large\text{$ P.G.= \{~3~{;}~9~{;}~27~{;}~81~{;}~243~{;}~ 729~{;}~2187~\}$}[/tex]

Usando propriedades de Progressão Geométrica

[tex]\Large\text{$ quociente =3$}[/tex]

O Termo Geral de uma P.G é :

[tex]\boxed{\Large\text{$ a_{n}= a_{1} \cdot q^{n-1} $}}[/tex]

Quer-se obter o número de coelhas na sétima geração.

Ou seja encontrar o termo [tex]\Large\text{$a_{7}$}[/tex]

[tex]\Large\text{$ a_{7}= 3 \cdot 3^{7-1} $}[/tex]

[tex]\Large\text{$ a_{7}= 3 \cdot 3^{6} $}[/tex]

[tex]\Large\text{$ a_{7}= 3^1 \cdot 3^{6} $}[/tex]

[tex]\Large\text{$ a_{7}= 3^{1+6} $}[/tex]

[tex]\Large\text{$ a_{7}= 3^{7} $}[/tex]

[tex]\Large\text{$ a_{7}= 2~187 $}[/tex]

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Bons estudos.

Att. Duarte Morgado

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[tex](\cdot)[/tex]  multiplicação