Bonjour, j'ai besoin de votre aide pour ce devoir (avant mercredi 11/10): On considère les fonctions.... Pergunta de ideia deLeilana

May 2019 1 93 Report

Bonjour, j'ai besoin de votre aide pour ce devoir (avant mercredi 11/10):

On considère les fonctions f et g définies pour tout réel x par:
f(x)= exp(x)
g(x)=1-exp(-x)

1) Tracer dans un repère orthonormé les courbes Cf et Cg (je l'ai déjà fait)
2) Ces courbes semblent admettre deux tangentes communes dont on admettra l'existence.Tracer au mieux ces tangentes sur la figure. (Je l'ai déja fait aussi°

3) On donne D l'une de ces tangentes communes.
Cette droite est tangente à la courbe Cf au point A d'abscisse a et tangente à la courbe Cg au point B d'abscisse b.

a/ Exprimer en fonction de a le coefficient directeur de la tangente à la courbe Cf au point A
( j'ai trouvé f'(a)=exp(a))

b/ Exprimer en fonction de b le coefficient directeur de la tangente à la courbe Cg au point B
(j'ai trouvé g'(b)= exp(b))

c)En déduire que b=-a
(C'est à partir d'ici que je bloque !!!)

4) a/ Démontrer que le réel a est solution de l'équation
2(x-1)exp(x) + 1 = 0

b/ A l'aide d'une calculatrice, déterminer à 10^-2 près les valeurs possibles pour a et b.
Vérifier le résultat sur la figure.

Je bloque au 3) c/

Merci d'avance pour votre aide

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Commentaires (2) Bonjour Leilana

1) Graphique en pièce jointe

2) Graphique en pièce jointe

3) $a)\ f(x)=e^x\Longrightarrow f'(x)=e^x\Longrightarrow\boxed{f'(a)=e^a}$

Donc le coefficient directeur de la tangente à la courbe Cf au point A est $\boxed{f'(a)=e^a}$

$g(x)=1-e^{-x}\Longrightarrow g'(x)=0-(-e^{-x})=e^{-x}\Longrightarrow\boxed{g'(b)=e^ {-b}}$

Donc le coefficient directeur de la tangente à la courbe Cg au point B est $\boxed{g'(b)=e^ {-b}}$

b) Si les tangentes aux courbes Cf en A et Cg en B sont confondues, alors ces tangentes ont le même coefficient directeur.

Donc   $f'(a)=g'(b)\Longrightarrow e^a=e^{-b}\Longrightarrow a=-b\Longrightarrow\boxed{b=-a}$

4a) L'équation de la tangente $T_A$ à la courbe Cf au point A est de la forme : $y=f'(a)(x-a)+f(a)$

$T_A:y=e^a(x-a)+e^a\\\\\boxed{T_A:y=e^ax-ae^a+e^a}$

L'équation de la tangente $T_B$ à la courbe Cg au point B est de la forme : $y=g'(b)(x-b)+f(b)$

$T_B:y=e^{-b}(x-b)+1-e^{-b}\\\\ T_B:y=e^{-b}x-be^{-b}+1-e^{-b}$

Or : b = -a ===> -b = a

D'où   $\boxed{T_B:y=e^{a}x+ae^{a}+1-e^{a}}$

Si les tangentes $T_A$ et $T_B$ sont confondues, alors leurs équations $y=e^ax-ae^a+e^a$ et   $y=e^{a}x+ae^{a}+1-e^{a}$ sont équivalentes.

D'où, dans ce cas-là, en égalant les ordonnées à l'origine de ces deux droites, le réel a vérifierait la relation $-ae^a+e^a=ae^{a}+1-e^{a}$

soit

$2ae^{a}-2e^{a}+1=0\\\\(2a-2)e^{a}+1=0\\\\\boxed{2(a-1)e^{a}+1=0}$

Par conséquent, le réel a est solution de l'équation $\boxed{2(x-1)e^{x}+1=0}$

b) Par la fonction TABLE de la calculatrice, nous obtiendrons les valeurs approchées à $10^{-2}$ près de a et b.

$\boxed{a\approx-1,68\ \ et\ \ b\approx1,68}\\\\ou\\\\\boxed{a\approx0,77 \ et\ \ b=-0,77}$

2 votes Thanks 1

leilana super !!! ma rédaction n'est pas aussi parfaite mais tout ce que j'avais déjà fait était correct.

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