Bonjour j’aurais besoin d’aide svp pour ces exos de maths sur les limites et les suites;)


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Exercice 1

1. Etudier lim (ex + 1)(3-√x) (ici x tend vers + l’infini)

2. Etudier lim ex/x^2+4x
Quand x→0 et x>0

3. Etudier lim -5x^4+10x²16x + 27 Quand x tend vers - l’infini

4. Etudier lim x^2-5x / √x+2x² quand x tend vers + l’infini

Exercice 2

Un groupe de scientifiques (des spécialistes en environnement et des biologistes) étudient l'évolution d'une population de
grenouilles autour d'un étang.
Les biologistes estiment que le nombre de grenouilles présentes autour de l'étang peut être modélisé par la fonction P
définie sur l'intervalle [0; +∞[ où t est le temps écoulé en années depuis 2018:
P(t) = 1000/0,4+3,6e-0,5t

1. Etudier les variations de la fonction P sur [0; +∞[.

2. On souhaite déterminer la limite de la fonction P en +∞

a.Déterminer la limite de -0,5t lorsque t tend vers + l’infini .

b.On admet la propriété suivante :

(VOIR L’IMAGE PIECE JOINTE)

En déduire lim P(t).
t→+∞

3. Montrer qu'il existe une unique valeur t0 E [0; +∞ [ telle que P(to) = 2000. Déterminer cette valeur à 10-¹ près.

4. Selon ce modèle, déterminer au cours de quelle année la population de l'étang aura dépassé pour la première fois
les 2000 grenouilles.

Exercice 3

Soit la suite (un) définie pour tout entier n par un =
3n+cos(n)/n²+6n+30

1. Calculer U10, U100, U1000 et U10000 (donner des valeurs approchées à 10-³)

2. Que peut-on conjecturer pour la convergence de la suite (un)?

3. Etudier le signe de n² + 6n +30.

où cos est la fonction cosinus
4. Soient les suites (vn) et (Wn) définies pour tout entier ʼn respectivement par
vn =3n-1/n²+6n+30
Wn= 3n+1 / n²+6n+30

a.Sachant que pour tout nombre réel x, -1 ≤ cos(x) ≤ 1, montrer que, pour tout n E N, Vn ≤ un ≤ Wn.

b. Calculer la limite des suites (vn) et (wn).

C.En déduire la limite de la suite (un).

Merciii d’avance