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Com base nos cálculos realizados podemos concluir que a área do retângulo FEDB corresponde a 11,52 u.a.  

Essa questão visa revisar os entendimentos sobre o triângulo e as famosas semelhanças entre eles! Inicialmente iremos determinar a medida do segmento CB, para isso usaremos o famigerado Teorema de Pitágoras.

• Teorema : O quadrado da hipotenusa corresponde a soma dos quadrados dos catetos(Apenas em um triângulo retângulo).

Com isso temos que ,

[tex]\sf{h^{2}=(c_{1})^{2}+(c_{2})^{2}}[/tex]

Sendo h a hipotenusa e c₁, c₂ os catetos. Vale ressaltar que a hipotenusa é o maior lado, ou seja, aqui ela está oposta ao ângulo reto(ângulo de 90º). Então temos o cateto AB = 6 e a hipotenusa AC = 10, portanto podemos determinar a medida do segmento CB !

• Iniciando o Processo Resolutivo !

Parte 1 - Sabendo todos os dados necessários e a forma de determinar a medida do segmento procurado, passaremos para os cálculos.

[tex]\sf{h^{2}=(c_{1})^{2}+(c_{2})^{2}}\\ \\ \sf{(c_{1})^{2}+(c_{2})^{2}=h^{2}}\\ \\ \sf{(c_{1})^{2}+(6)^{2}=10^{2}}\\ \\ \sf{(c_{1})^{2}+36=100}\\ \\ \sf{(c_{1})^{2}=100-36}\\ \\ \sf{(c_{1})^{2}=64}\\ \\\sf{\sqrt{(c_{1})^{2}}=\sqrt{64} }\\ \\ \sf{c_{1}=8~u.a.}[/tex]

Passo 2 - Agora vamos usar o raciocínio que nos levará ao que procuramos! Vamos pegar os triângulos  ΔABC e o ΔAFE e fazer a semelhança entre os mesmos, mas primeiramente devemos conhecer BF e AF. No caso de BF vamos adotar um valor "z" para representa-lo, sendo assim temos que AB = AF + BF ⇒ AF = AB - BF = 6 - z  e por consequência EF = 2 . BF ⇒ EF = 2 . z .

Usando a semelhança nos triângulos ΔABC e ΔAFE, temos que :

[tex]\sf{\dfrac{AF}{AB}=\dfrac{EF}{CB}}\\ \\ \\ \sf{\dfrac{6-z}{6}=\dfrac{2z}{8}}\\ \\ \\ \sf{\dfrac{6-z}{6}=\dfrac{z}{4}}\\\\ \\ \sf{6*z = 4(6-z)}\\ \\ \sf{6z = 24 - 4z}\\ \\ \sf{6z+4z = 24}\\ \\ \sf{10z = 24}\\ \\ \sf{z = 2,4~u.a.}[/tex]

Passo 3 - A área do retângulo corresponde ao produto entre a base dele com sua altura. EF ≡ DB ≡ 2z (base) e altura BF = z, portanto temos que :

[tex]\sf{Area = base \times altura } \\ \\ \sf{ ~~~~~~= 2z * z = 2z^{2} = 2.(2,4)^{2} }\\ \\ \sf{ ~~~~~~=2.5,76 = 11,52~u.a.}[/tex]