✅ De acordo com os conhecimentos sobre função polinomial do segundo grau e de estudos das variações das funções, o custo mínimo será [tex] \rm C(50) = R\$ 10{,}00 [/tex].

✍️ Solução: Irei assumir que o leitor já tenha conhecimento sobre o assunto de derivadas. Utilizando essa ferramenta matemática, podemos avaliar o comportamento de funções em relação aos intervalos de crescimento, decrescimento, pontos de mínimos e máximos.

Isso é possível pois a interpretação geométrica da derivada em sua criação é de uma reta tangente em cada ponto do gráfico da função, i.e., essa reta se movimenta sobre o gráfico e mede a taxa de variação da função.

Prosseguindo, a função dada é uma função quadrática com coeficiente [tex] \rm a > 0 [/tex], logo possui um ponto de mínimo. Desejamos encontrar um ponto crítico de [tex] \rm C(n) [/tex], então derivemos

[tex] \large\begin{array}{lr}\rm \dfrac{dC}{dn} = 2n - 100 \end{array} [/tex]

Há um ponto crítico onde a derivada primeira é zero ou não existe

[tex] \large\begin{array}{lr}\rm \dfrac{dC}{dn} = 0\Rightarrow 2n - 100 = 0 \Rightarrow n = 50 \end{array} [/tex]

Para averiguar se é realmente um ponto de mínimo ( não precisa, mas… ) façamos o teste da derivada segunda

[tex] \large\begin{array}{lr}\rm \left. \dfrac{d^2C}{dn^2} \right|_{n = 50} = 2 > 0 ~\therefore\text{ \'e ponto de m\'inimo} \end{array} [/tex]

Portanto, para [tex] \rm n = 50 [/tex] o custo será mínimo e obteremos o valor preciso substituindo em [tex] \rm C(n) [/tex]

[tex] \large\begin{array}{lr}\begin{aligned}\rm C(50) &=\rm 50^2 - 100 \cdot 50 +2510 \\\\&=\rm 2500 - 5000 + 2510 \\\\&=\rm -2500 + 2510 \end{aligned}\\\\\red{\underline{\boxed{\boxed{\rm \therefore\: C(50) = R\$10{,}00 }}}}\end{array} [/tex]

⚓️️️️ Seção de links para complementar o estudo sobre derivação, máximos e mínimos:

[tex]\rule{7cm}{0.01mm}\\\texttt{Bons estudos! :D}\\\rule{7cm}{0.01mm}[/tex]