Para a função f(x)=-x³+3x²-6x, os intervalos onde ela é côncava para cima são x<0 e x>2, e o ponto de inflexão é x=2. Os intervalos onde ela é côncava para baixo são 0<x<2.

Resposta:

A função f(x) = -x³ + 3x² - 6x é côncava para baixo em todo o seu domínio e possui dois pontos de inflexão, nos pontos x = 1 e x = 2.

Explicação passo a passo:

Para determinar se a função é côncava para cima ou para baixo, é necessário calcular a segunda derivada da função e verificar seu sinal. Se a segunda derivada é positiva, a função é côncava para cima; se for negativa, é côncava para baixo.

A segunda derivada da função f(x) = -x³ + 3x² - 6x é:

f''(x) = -6x

Como a segunda derivada é constante e negativa, a função é côncava para baixo em todo o seu domínio.

Para encontrar os pontos de inflexão, basta igualar a primeira derivada a zero e resolver a equação. A primeira derivada da função é:

f'(x) = -3x² + 6x - 6

f'(x) = 0 => -3x² + 6x - 6 = 0

Resolvendo esta equação, encontra-se as raízes x = 1 e x = 2. Estes são os pontos de inflexão da função.