Resposta:

a alternativa correta é:

b) 795.17 m

Explicação da correção seria:

\[ (x + 430.14)^2 = x^2 + (x + 181.18)^2 - 2 \cdot (x + 181.18) \cdot (x + 430.14) \cdot \cos(B\hat{O}C) \]

Agora, podemos seguir com os cálculos. Vamos calcular os ângulos em radianos:

\[ B\hat{O}C = 100°18'19" \]

\[ \text{ângulo em radianos} = (100 + \frac{18}{60} + \frac{19}{3600}) \times \frac{\pi}{180} \]

\[ B\hat{O}C \approx 1.749 \, \text{rad} \]

Agora, substituímos na equação correta:

\[ (x + 430.14)^2 = x^2 + (x + 181.18)^2 - 2 \cdot (x + 181.18) \cdot (x + 430.14) \cdot \cos(1.749) \]

Solução para \( x \) e, portanto, a largura do lago (AB):

\[ x \approx 795.17 \, \text{m} \]

Portanto, a alternativa correta é:

b) 795.17 m

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Resposta:

Alternativa d) 530.33 metros.

Explicação passo a passo:

A Lei dos Senos pode ser usada para resolver esse problema, veja:

No triângulo ABC, temos:

AB = x (a largura do lago)

BC = x + 430.14m

AC = x + 181.18m

Ângulo AÔB = 32°54'18"

Ângulo BÔC = 100°18'19"

A Lei dos Senos é dada por:

a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C)

Podemos usar essa fórmula para encontrar o valor de x. Substituindo os valores conhecidos, temos:

Resolvendo essa equação para x, podemos encontrar a largura do lago:

x/sin(32°54'18") = (x + 430.14)/sin(100°18'19")

sin(100°18'19")*x = sin(32°54'18")*x + 430.14*sin(32°54'18")

sin(100°18'19")*x - sin(32°54'18")*x = 430.14*sin(32°54'18")

{sin(100°18'19") - sin(32°54'18")}*x = 430.14*sin(32°54'18")

x = 430.14*sin(32°54'18")/{sin(100°18'19") - sin(32°54'18")}

x = 530.33 m (aproximadamente)

Portanto, o lago mede, aproximadamente, 530.33 metros.