Resposta:

[tex]\dfrac{81}{80}[/tex]

Explicação passo a passo:

Fração própria: é quando o numerador é menor que o denominador.
Irredutível: não é possível dividir tanto o numerador, quanto o denominador por um mesmo número.

Primeiro temos que descobrir qual a fração que o exercício está querendo.

Vamos pensar nos possíveis valores que a fração desejada pode ter, pra começar, vamos supor que a fração seja 1/5:

[tex]F = \dfrac{1}{5}[/tex]

1/5 é igual a 0,2 em decimal, mas nós queremos a maior fração possível, então vamos pensar em algum jeito de aumentar o valor dessa fração. Vamos então fixar o número 1 como numerador. Qual o maior valor que podemos ter para o numerador = 1 ? Percebemos que:

[tex]\dfrac{1}{2} > \dfrac{1}{3} > \dfrac{1}{4} > \dfrac{1}{5} > ...[/tex]

[tex]0.5 > 0.333... > 0.25 > 0.2 > ...[/tex]

Percebemos então que quanto MENOR o DENOMINADOR, MAIOR é o valor da fração. Vamos pensar agora no caso do numerador ser igual a 2. Queremos então o MENOR DENOMINADOR possível para o numerador 2. Como a fração é própria, o denominador tem que ser maior que numerador, então o menor denominador possível é 3:

[tex]F = \dfrac{2}{3}[/tex]

2/3 é igual a 0,666... então temos que:

[tex]\dfrac{2}{3} > \dfrac{1}{2}[/tex]

2/3 então passa a ser a maior fração até agora. Se continuarmos no mesmo raciocínio, agora usando o numerador igual a 3, temos que:

[tex]F = \dfrac{3}{4}[/tex]

E percebemos que:

[tex]\dfrac{3}{4} > \dfrac{2}{3} > \dfrac{1}{2}[/tex]

[tex]0.75 > 0.666... > 0.5[/tex]

Então, para todo numerador novo que tentarmos, o denominador sempre terá de ser 1 a mais para que a fração seja própria. Ou seja, podemos testar:

[tex]F = \dfrac{4}{5}[/tex] ,   [tex]F = \dfrac{5}{6}[/tex] , ...

Onde chegamos a conclusão de que:

[tex]\dfrac{8}{9} > \dfrac{7}{8} > \dfrac{6}{7} > \dfrac{5}{6} > ...[/tex]

Não podemos ter o numerador = 9, pois o denominador seria 10 e a pergunta diz que não pode. Então a fração que buscamos só pode ser:

[tex]F = \dfrac{8}{9}[/tex]

Então, se somarmos 1 ao numerador e ao denominador de 8/9 temos:

[tex]\dfrac{8+1}{9+1} = \dfrac{9}{10}[/tex]

A pergunta é: por qual fração eu preciso multiplicar 8/9 para ela virar 9/10? Então:

[tex]\dfrac{8}{9} \cdot x = \dfrac{9}{10} \\[/tex]

[tex]x = \dfrac{9\cdot 9}{10 \cdot 8} = \dfrac{81}{80}[/tex]