Determine a soma dos valores absolutos dos algarismos do menor número natural que satisfaz às seguintes condições:
1) O resto da sua divisão por 6 é 5;
2) O resto da divisão do seu antecessor por 5 é 3;
3) O seu sucessor é múltiplo de 4
OBS.: Por favor, gostaria de entender o raciocínio passo-a-passo dessa questão.
Se der pra utilizar álgebra e equacionar essa questão seria ótimo. Obrigado desde já!
1) O resto da sua divisão por 6 é 5;
2) O resto da divisão do seu antecessor por 5 é 3;
3) O seu sucessor é múltiplo de 4
OBS.: Por favor, gostaria de entender o raciocínio passo-a-passo dessa questão.
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Resposta: 14
Explicação passo a passo:
Seja [tex]n[/tex] o número natural procurado que satisfaz as condições dadas.
De acordo com as informações do enunciado, devemos ter
[tex]n=6q_1+5\qquad\mathrm{(i)}[/tex]
[tex]n-1=5q_2+3\\\\ \Longleftrightarrow\quad n=5q_2+3+1\\\\ \Longleftrightarrow\quad n=5q_2+4\qquad\mathrm{(ii)}[/tex]
[tex]n+1=4q_3\qquad\mathrm{(iii)}[/tex]
sendo [tex]q_1,\,q_2,\,q_3[/tex] inteiros.
Por (i) e (ii), perceba que se adicionarmos uma unidade ao valor de [tex]n,[/tex] obtemos um número que também é múltiplo de 5 e múltiplo de 6:
[tex]\Longleftrightarrow\quad\left\{\begin{array}{l}n+1=6q_1+5+1\\\\ n+1=5q_2+4+1\\\\ n+1=4q_3 \end{array}\right.\\\\\\ \Longleftrightarrow\quad\left\{\begin{array}{l}n+1=6q_1+6\\\\ n+1=5q_2+5\\\\ n+1=4q_3 \end{array}\right.\\\\\\ \Longleftrightarrow\quad\left\{\begin{array}{l}n+1=6(q_1+1)\\\\ n+1=5(q_2+1)\\\\ n+1=4q_3 \end{array}\right.[/tex]
Portanto, [tex]n+1[/tex] é um múltiplo comum entre 4, 5 e 6. Como queremos o menor valor possível para [tex]n,[/tex] devemos ter
[tex]\Longrightarrow\quad n+1=\mathrm{mmc}(4,\,5,\,6)=60\\\\ \Longleftrightarrow\quad n=60-1\\\\ \Longleftrightarrow\quad n=59\qquad\checkmark[/tex]
A soma dos valores absolutos dos algarismos de [tex]n[/tex] é
[tex]5+9=14\quad\longleftarrow\quad\mathsf{resposta.}[/tex]
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Bons estudos! :-)