Por muitos anos, a palavra Álgebra foi utilizada para denominar o segmento da matemática que examinava as operações entre números e a busca por soluções de equações. Conforme a matemática foi se desenvolvendo, a álgebra caminhou junto, se tornando um campo de pesquisa muito mais amplo a partir dos conceitos das Estruturas Algébricas. As operações antes realizadas com números puderam ser generalizadas, tornando assim essas definições e estudos muito mais abrangentes.

Nessa atividade MAPA, trabalharemos com a estrutura algébrica Grupo, e iremos propor que você aplique os conceitos de Subgrupos e Isomorfismos de Grupos. Dessa forma, você deve responder às seguintes questões:

a) Considere o conjunto . Mostre que G é um subgrupo de que é o grupo dos números reais excuindo o zero, munido da operação usual de multiplicação.

b) Considere o conjunto . Mostre que J é um subgrupo de que é o grupo dos números complexos, munido da operação usual de soma.

c) Como G e J são subgrupos dos grupos citados, em particular dados, G e J também são grupos com as operações que herdam de , respectivamente. Sendo assim, mostre que são grupos isomorfos e para isso, considere a função dada por: e siga os seguintes passos:

1. Mostre que é um homomorfismo de grupos.
2. Mostre que é injetora.
3. Mostre que é sobrejetora.
4. Conclua que é um isomorfismo de grupos.