Observamos que o primeiro termo da soma à direita é um quadrado e o segundo é uma soma de quadrados. Isso nos dá a ideia de que poderíamos escolher $a$, $b$, e $c$ de tal forma que:
$$(a+b+c)^2 - c^2 = 2n$$
$$(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 = 0$$
A segunda equação é satisfeita quando $a=b=c$. Portanto, podemos escolher $a$, $b$, e $c$ igual a $n/2$ para satisfazer a primeira equação. Então, a segunda equação também é satisfeita, pois $a-b=b-c=c-a=0$. Portanto, existe solução para a equação dada.
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Explicação passo-a-passo:
Podemos perceber que a soma dos dois lados da igualdade é a mesma. Então, podemos somar $n$ ao segundo lado, para obter:
$$n + n = (a+b-c) + (n+a^2+b^2-c^2)$$
Rearranjando, temos:
$$2n = [(a+b+c)^2 - c^2] + [(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2]$$
Observamos que o primeiro termo da soma à direita é um quadrado e o segundo é uma soma de quadrados. Isso nos dá a ideia de que poderíamos escolher $a$, $b$, e $c$ de tal forma que:
$$(a+b+c)^2 - c^2 = 2n$$
$$(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 = 0$$
A segunda equação é satisfeita quando $a=b=c$. Portanto, podemos escolher $a$, $b$, e $c$ igual a $n/2$ para satisfazer a primeira equação. Então, a segunda equação também é satisfeita, pois $a-b=b-c=c-a=0$. Portanto, existe solução para a equação dada.