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Exercice 1: En 2018, un opérateur téléphonique possède 400 000 abonnés en France. Chaque année, 10 % des clients ne se réabonnent plus pour l'année suivante, et l'opérateur reçoit 20 000 nouveaux abonnés. Pour tout entier naturel n, on note un le nombre d'abonnés de l'année 2018 + n, en milliers. On a donc uo = 400. 1. Calculer u₂. Interpréter ce résultat. 2. Justifier que, pour tout entier naturel n, on a un+1 = 0,9un + 20. 3. Pour tout entier naturel n, on pose Vn = Un - 200. a. Montrer que la suite (vn) est géométrique. On précisera sa raison et son premier terme. b. Exprimer V₁ en fonction de n. C. En déduire que, pour tout entier naturel n, on a un = 200x0,9 + 200. 4. Calculer une estimation du nombre d'abonnés en 2030. Exercice 2: Pour confectionner ses gâteaux, un pâtissier achète chaque mois un sac de farine. On sait que le prix du sac farine augmente de 2 % par mois, à cause de l'augmentation du prix du carburant, et que son prix était de 50 € en janvier 2018. On note u,, le prix du sac de farine au bout de n mois après janvier 2018. (on a donc u. = 50) Calcule la dépense totale du pâtissier pour ses sacs de farine pendant les deux années 2018 et 2019. (au centime d'euros près) Exercice 3: Soit b et c deux nombres réels fixés. Soit f la fonction polynôme du second degré définie sur IR par f(x)=x²+bx+c. 1. Démontrer que: «Si f admet deux racines distinctes, alors le nombre b est égal à l'opposé de la somme des racines, et le nombre c est égal au produit des racines >> 2. Applications : a. On sait que l'équation : x² +48x-4185=0 admet deux solutions distinctes et que l'une d'elles est 45. Sans calculer le discriminant, déterminer l'autre solution. b. Le trinôme xx² +93x-94 admet une racine évidente. Laquelle ? Sans calculer le discriminant, déterminer l'autre racine de ce trinôme. c. Le trinôme xx² +18x+17 admet une racine évidente. Laquelle ? Sans calculer le discriminant, déterminer l'autre racine de ce trinôme.
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Soit ƒ la fonction définie sur IR par f(x) = (2x - 3)² -1. 1. Développer, réduire et ordonner f(x). 2. Démontrer que, pour tout réel x, on a f(x) = 4(x²-3x+2). 3. Résoudre l'équation f(x) = 8. 4. Résoudre l'équation f(x) = -1. 5. Résoudre l'équation f(x) = 15. 6. Résoudre l'équation f(x) = -3. 7. Démontrer que les nombres a = -√3 et b = 3+√3 ont la même image par la fonction f. 8. Soit g la fonction définie sur IR par g(x) = 5(x²-3x+4)-3(x+1). Démontrer que, pour tout nombre réel x, on a f(x) ≤ g(x).
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