Resposta:

P3 (x) = 5x-4+10(x-1)²+10(x-1)³

Explicação passo a passo:

Conferido no AVA

Utilizando a fórmula do polinômio de Taylor de grau 3, calculamos que [tex]P_3 (x) = -4 + 5x + 10(x - 1)^2 + 10(x - 1)^3[/tex] , alternativa C.

Polinômio de Taylor de grau 3

O polinômio de Taylor de uma função é amplamente utilizado na matemática para aproximar funções utilizando expressões polinomiais. Para calcular o polinômio de Taylor de grau 3 de uma função f(x) podemos utilizar a seguinte fórmula:

[tex]P_3 (x) = f(a) + f'(a) (x - a) + \frac{f''(a)}{2} (x - a)^2 + \frac{f'''(a)}{6} (x - a)^3[/tex]

Onde [tex]a[/tex] é o o valor em torno do qual o polinômio de Taylor é calculado. Para a questão proposta, temos que [tex]a = 1[/tex]. Calculando as derivadas da função f(x) até a ordem 3, obtemos:

[tex]f(x) = x^5\\f'(x) = 5x^4\\f''(x) = 5 \cdot 4x^3 = 20x^3\\f'''(x) = 20 \cdot 3x^2 = 60x^2[/tex]

Calculandos cada derivada obtida para o valor 1, podemos escrever:

[tex]f(x) = 1^5 = 1\\f'(x) = 5 \cdot 1^4 = 5\\f''(x) = 20\cdot 1^3 = 20\\f'''(x) = 60\cdot 1^2 = 60[/tex]

Com essas informações podemos afirmar que o polinômio de Taylor da função f(x) dada é igual a:

[tex]P_3 (x) = 1 + 5 (x - 1) + \frac{20}{2} (x - 1)^2 + \frac{60}{6} (x - 1)^3\\P_3 (x) = 1 + 5 (x - 1) + 10(x - 1)^2 + 10(x - 1)^3\\P_3 (x) = -4 + 5x + 10(x - 1)^2 + 10(x - 1)^3[/tex]

Para mais informações sobre o polinômio de Taylor, acesse: https://brainly.com.br/tarefa/51434792

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