Quando falamos em polinômio de Taylor, sabemos da sua utilidade para estimar valores de determinada função a partir da utilização de suas derivadas. Essa é uma ferramenta muito utilizada dentro do cálculo diferencial e integral, a fim de determinar valores de uma função complexa de maneira mais simples.
Dito isso, assinale a alternativa correta do polinômio de Taylor de grau 3, em volta do x subscript 0 equals 1, da função f left parenthesis x right parenthesis equals x to the power of 5.
Dito isso, assinale a alternativa correta do polinômio de Taylor de grau 3, em volta do x subscript 0 equals 1, da função f left parenthesis x right parenthesis equals x to the power of 5.
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Resposta:
d. P(x) = 1 + 5(x-1) + 10(x-1)^2 + 10(x-1)^3.
Explicação passo a passo:
Para encontrar o polinômio de Taylor de grau 3, em volta de x=1, da função f(x) = x^5, é necessário encontrar suas derivadas até a ordem 3. Temos:
f(x) = x^5
f'(x) = 5x^4
f''(x) = 20x^3
f'''(x) = 60x^2
Agora, podemos usar a fórmula do polinômio de Taylor:
P(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) + (1/2!)f''(x_0)(x-x_0)^2 + (1/3!)f'''(x_0)(x-x_0)^3
Substituindo os valores, temos:
P(x) = f(1) + f'(1)(x-1) + (1/2!)f''(1)(x-1)^2 + (1/3!)f'''(1)(x-1)^3
P(x) = 1 + 5(x-1) + (1/2!)20(x-1)^2 + (1/3!)60(x-1)^3
P(x) = 1 + 5(x-1) + 10(x-1)^2 + 10(x-1)^3
Portanto, a alternativa correta é:
d. P(x) = 1 + 5(x-1) + 10(x-1)^2 + 10(x-1)^3.