Réponse :

résoudre les inéquations suivantes dans R

a)  (36 x² - 12 x + 1)(- 6 x² - x - 1)/(3 - x)(- 3 x² + x + 4) > 0

⇔ (6 x - 1)²(- 6 x² - x - 1)/(3 - x)(- 3 x² + x + 4) > 0    or  (6 x - 1)² > 0

il faut que  3 - x ≠ 0  ⇔ x ≠ 3   et  - 3 x² + x + 4 ≠ 0

Δ = 1+48 = 49  ⇒ √49 = 7

x1 ≠ -1+7)/- 6 ≠ - 1

x2  ≠ - 1 - 7)/-6 ≠ 4/3

Df = R\{- 1 ; 4/3 ; 3}

- 6 x² - x - 1

Δ = 1 - 24 = - 23 < 0  donc  - 6 x² - x - 1 est du signe de a = - 6 < 0

Donc  ∀x ∈ R  on a ; - 6 x² - x - 1 < 0

 tableau de signes

       x               - ∞               - 1                4/3              3                + ∞

  3 - x                            +                +                  +      ||         -  

- 3 x² + x + 4                  -       ||        +         ||        -                 -  

- 6 x² - x - 1                    -                 -                   -                  -

       Q                           +       ||        -         ||         +      ||         -

l'ensemble des solutions est  :   S = ]- ∞ ; - 1[U]4/3 ; 3[

b)   3 t/(t - 2) ≤ 2           t ≠ 2      donc   Df = R\{2}

     ⇔  3 t/(t - 2) - 2 ≤ 0  ⇔  3 t/(t - 2) - 2(t - 2)/(t - 2) ≤ 0

⇔  (t + 4)/(t - 2) ≤ 0

        t         - ∞             - 4             2           + ∞

     t + 4                -         0      +            +

    t - 2                  -                  -     ||      +  

     Q                    +         0      -     ||       +

l'ensemble des solutions est :   S = [- 4  ; 2[

c) (3 x - 1)/(3 x + 1)  -  (3 x + 1)/(3 x - 1) ≤ 0      x ≠ - 1/3 et  x ≠ 1/3

⇔  [(3 x - 1)² - (3 x + 1)²]/(3 x - 1)(3 x + 1)

⇔ (3 x - 1 + 3 x + 1)(3 x - 1 - 3 x - 1)/(3 x - 1)(3 x + 1)

⇔  - 12 x/(3 x - 1)(3 x + 1)  

     tableau de signes

          x         - ∞            - 1/3             0             1/3            + ∞

       - 12 x                +                +      0       -                -

       3 x + 1               -        ||       +                +               +

       3 x - 1                -                 -                 -       ||       +

          Q                   +       ||        -       0        +      ||        -

S = ]- 1/3 ; 0]U]1/3 ; + ∞[  

Explications étape par étape :