A razão entre a área de um triângulo equilátero circunscrito à uma ciurcunferência e a área do triângulo equilátero inscrito é 4.

Circunferência circunscrita ao triângulo equilátero

Na circunferência inscrita no triângulo equilátero, seu centro está no incentro (encontro das bissetrizes). Sabemos que o incentro está localizado exatamente a dois terço da altura do triângulo. Assim, temos que:

r = 2/3 h

h = 3/2 r

Por Pitágoras temos que:

l² = (l/2)² + h²

l² - l²/4 = (3r/2)²

3l²/4 = (3r/2)²

√3 l/2 = 3r/2

l = 3r/√3

l= √3 r

Circunferência inscrita no triângulo equilátero

Na circunferência inscrita, temos que r = h/3, ou seja r = 3h

Mais uma vez, por Pitágoras temos que:

L² = (L/2)² + h²

L² - L²/4 = (3r)²

3l²/4 = (3r)²

√3 L/2 = 3r

L = 6r/√3

L= 2√3 r

Área do triângulo equilátero

A área de um triângulo equilátero é:

A = √3/4 L²

Assim, a área do triângulo inscrito é:

Ac = √3/4 ·  (√3 r)²

Ac = √3/4 · 3 r²

Ac = 3√3/4 r²

E a do triângulo circunscrito é:

Ai = √3/4 ·  (2√3 r)²

Ai = √3/4 · 4 · 3 r²

Ai = 3√3 r²

A razão então é:

Ac/Ai = 3√3 r²/3√3/4 r²

Ac/Ai = 4

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