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[tex]\displaystyle \sf \sqrt{x+2} = x+1 \\\\[/tex]

uma raiz quadrada é sempre positiva, então :

[tex]\sf \sqrt{x+2}\geq 0 \\\\ \left(\sqrt{x+2}\right)^2\geq 0 \\\\ x+2 \geq 0 \\\\ x\geq -2[/tex]

mas a raiz quadrada está igualdada a uma função, então essa função tbm deve ser positiva :
[tex]\displaystyle \sf x+1 \geq 0 \ \to\ x\geq -1[/tex]
Fazendo a interseção dos intervalos :  

[tex]\sf (x \geq -2) \ \cap (x\geq -1) = x\geq -1[/tex]

Temos :

[tex]\displaystyle \sf \sqrt{x+2} = x+1 \\\\ \text{Elevando ao quadrado ambos os lados } : \\\\ \left(\displaystyle \sf \sqrt{x+2}\right)^2 = (x+1)^2 \\\\ x+2 = x^2+2x+ 1 \\\\ x^2+2x+1 - x-2 = 0 \\\\ x^2+x-1 =0 \\\\ x = \frac{-1\pm\sqrt{1^2-4\cdot 1\cdot (-1)}}{2\cdot 1} \\\\\\ x = \frac{-1\pm\sqrt{1+4}}{2} \to x=\frac{-1\pm \sqrt{5}}{2} \\\\\\ x = \frac{-1-\sqrt{5}}{2} \to x\approx -1,6 \to (\text{N\~AO \ CONV\'EM POIS X }\geq -1) \\\\\\ x = \frac{-1+\sqrt{5}}{2} \to x\approx 0,61 \to \checkmark[/tex]

[tex]\displaystyle \sf \text{Portanto a solu\c c\~ao \'e } : \\\\ \Large\boxed{\sf \ x=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\ }\checkmark[/tex]