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Aplicado a Regra de Cramer, encontramos que os conjuntos soluções dos sistemas são:

• A) S = (-1, 3)
• B) S = (3, 4)

Regra de Cramer

A Regra de Cramer é uma técnica utilizada para resolver sistemas de equações.

• Neste método, os valores das variáveis ​​do sistema devem ser calculados usando os determinantes das matrizes.

Para resolver sistemas 2x2 aplicando esta regra, devemos seguir 4 passos:

1. Calcule o determinante "D" da matriz formada pelos coeficientes do sistema.
2. Calcule o determinante Dx. A matriz utilizada será a mesma, porém a primeira coluna deve ser substituída pelos termos independentes.
3. Calcule o determinante Dx. A matriz utilizada será a mesma, porém a segunda coluna deve ser substituída pelos termos independentes.
4. Obtenha os valores de x e y, aplicando as seguintes relações:

[tex]\boxed{\large\displaystyle\text{$\mathsf{x=\dfrac{Dx}{D},~y=\dfrac{Dy}{D}}$}}[/tex]

Para entender como funciona a Regra de Cramer, observe a resolução do seguinte sistema de equações:

[tex]\large\displaystyle\text{$\mathsf{\left\{\begin{matrix}3x+y=3\\3x+4y=30\end{matrix}\right.}$}[/tex]

A matriz formada pelos coeficientes do sistema será igual a:

[tex]\large\displaystyle\text{$\mathsf{\begin{bmatrix}3 & 1\\ 3 & 4\end{bmatrix}}$}[/tex]

Agora, devemos seguir os 4 passos.

Passo 1: calcular o determinante D

[tex]\large\displaystyle\text{$\mathsf{\begin{bmatrix}3 & 1\\ 3 & 4\end{bmatrix}}$}\\\\\\\large\displaystyle\text{$\mathsf{D = 3~.~4-1~.~3}$}\\\large\displaystyle\text{$\mathsf{D=12-3}$}\\\boxed{\large\displaystyle\text{$\mathsf{D=9}$}}[/tex]

Passo 2: calcular o determinante Dx

Substitua a primeira coluna pelos termos independentes (3 e 30).

[tex]\large\displaystyle\text{$\mathsf{\begin{bmatrix}\red{3} & 1\\ \red{3} & 4\end{bmatrix}\rightarrow \begin{bmatrix}\red{3} & 1\\ \red{30} & 4\end{bmatrix}}$}[/tex]

Calcule o determinante Dx.

[tex]\large\displaystyle\text{$\mathsf{\begin{bmatrix}3 & 1\\ 30 & 4\end{bmatrix}}$}\\\\\\\large\displaystyle\text{$\mathsf{Dx=3~.~4-1~.~30}$}\\\large\displaystyle\text{$\mathsf{Dx=12-30I}$}\\\boxed{\large\displaystyle\text{$\mathsf{Dx=-18}$}}[/tex]

Passo 3: calcular o determinante Dy

Substitua a segunda coluna pelos termos independentes (5 e 9).

[tex]\large\displaystyle\text{$\mathsf{\begin{bmatrix} 3& \red{1}\\3 & \red{4}\end{bmatrix}\rightarrow \begin{bmatrix}3 & \red{3}\\3 & \red{30}\end{bmatrix}}$}[/tex]

Calcule o determinante Dy.

[tex]\large\displaystyle\text{$\mathsf{\begin{bmatrix}3 & 3\\ 3 & 30\end{bmatrix}}$}\\\\\\\large\displaystyle\text{$\mathsf{Dy=3~.~30-3~.~3}$}\\\large\displaystyle\text{$\mathsf{Dy=90-9}$}\\\boxed{\large\displaystyle\text{$\mathsf{Dy=81}$}}[/tex]

Passo 4: Obter os valores de x e y

[tex]\large\displaystyle\text{$\mathsf{x=\dfrac{Dx}{D},~y=\dfrac{Dy}{D}}$}\\\\\\\large\displaystyle\text{$\mathsf{x=\dfrac{-18}{9},~y=\dfrac{81}{9}}$}\\\\\\\boxed{\large\displaystyle\text{$\mathsf{x=-2,~y=9}$}}[/tex]

Veja que encontramos o conjunto solução do sistema: S = (-2, 9).

Resolução dos exercícios

Devemos aplicar a Regra de Cramer nos itens A e B.

Item A

Passo 1: calcular o determinante D.

[tex]\large\displaystyle\text{$\mathsf{\begin{bmatrix} 1 & 1\\ 3 & 2 \end{bmatrix}}$}\\\\\\\large\displaystyle\text{$\mathsf{D=1~.~2-1~.~3}$}\\\large\displaystyle\text{$\mathsf{D=2-3}$}\\\boxed{\large\displaystyle\text{$\mathsf{D=-1}$}}[/tex]

Passo 2: calcular o determinante Dx.

[tex]\large\displaystyle\text{$\mathsf{\begin{bmatrix} \red{1} & 1\\ \red{3} & 2 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} \red{2} & 1\\ \red{3} & 2 \end{bmatrix}}$}\\\\\\\large\displaystyle\text{$\mathsf{Dx=2~.~2-3~.~1}$}\\\large\displaystyle\text{$\mathsf{Dx=4-3}$}\\\boxed{\large\displaystyle\text{$\mathsf{Dx=1}$}}[/tex]

Passo 3: calcular o determinante Dy.

[tex]\large\displaystyle\text{$\mathsf{\begin{bmatrix} 1 & \red{1}\\ 3 & \red{2} \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 1 & \red{2}\\ 3 & \red{3}\end{bmatrix}}$}\\\\\\\large\displaystyle\text{$\mathsf{Dy=1~.~3-2~.~3}$}\\\large\displaystyle\text{$\mathsf{Dy=3-6}$}\\\boxed{\large\displaystyle\text{$\mathsf{Dy=-3}$}}[/tex]

Passo 4: obtenha os valores de x e y.

[tex]\large\displaystyle\text{$\mathsf{x=\dfrac{Dx}{D},~y=\dfrac{Dy}{D}}$}\\\\\\\large\displaystyle\text{$\mathsf{x=\dfrac{1}{-1},~y=\dfrac{-3}{-1}}$}\\\\\\\boxed{\large\displaystyle\text{$\mathsf{x=-1,~y=3}$}}[/tex]

Portanto, o conjunto solução do sistema é:

[tex]\boxed{\boxed{\large\displaystyle\text{$\mathsf{S=(-1,3)}$}}}[/tex]

Item B

Passo 1: calcular o determinante D.

[tex]\large\displaystyle\text{$\mathsf{\begin{bmatrix} 1 & 1\\ 2 & -1 \end{bmatrix}}$}\\\\\\\large\displaystyle\text{$\mathsf{D=1~.~(-1)-1~.~2}$}\\\large\displaystyle\text{$\mathsf{D=-1-2}$}\\\boxed{\large\displaystyle\text{$\mathsf{D=-3}$}}[/tex]

Passo 2: calcular o determinante Dx.

[tex]\large\displaystyle\text{$\mathsf{\begin{bmatrix} \red{1} & 1\\ \red{2} & -1 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} \red{7} & 1\\ \red{2} & -1 \end{bmatrix}}$}\\\\\\\large\displaystyle\text{$\mathsf{Dx=7~.~(-1)-1~.~2}$}\\\large\displaystyle\text{$\mathsf{Dx=-7-2}$}\\\boxed{\large\displaystyle\text{$\mathsf{Dx=-9}$}}[/tex]

Passo 3: calcular o determinante Dy.

[tex]\large\displaystyle\text{$\mathsf{\begin{bmatrix} 1 & \red{1}\\ 2 & \red{-1} \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 1 & \red{7}\\ 2 & \red{2}\end{bmatrix}}$}\\\\\\\large\displaystyle\text{$\mathsf{Dy=1~.~2-7~.~2}$}\\\large\displaystyle\text{$\mathsf{Dy=2-14}$}\\\boxed{\large\displaystyle\text{$\mathsf{Dy=-12}$}}[/tex]

Passo 4: obtenha os valores de x e y.

[tex]\large\displaystyle\text{$\mathsf{x=\dfrac{Dx}{D},~y=\dfrac{Dy}{D}}$}\\\\\\\large\displaystyle\text{$\mathsf{x=\dfrac{-9}{-3},~y=\dfrac{-12}{-3}}$}\\\\\\\boxed{\large\displaystyle\text{$\mathsf{x=3,~y=4}$}}[/tex]

Portanto, o conjunto solução do sistema é:

[tex]\boxed{\boxed{\large\displaystyle\text{$\mathsf{S=(3,4)}$}}}[/tex]

⭐ Espero ter ajudado! ⭐

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