Salut! Je retrouve vraiment des difficultés dans cet exercice, j'espère que vous pouvez m'aider!
Soit n un entier naturel impair.
1) Montrer que n²-1 est un multiple de 8 (8 est un diviseur de n²-1)
2) Déduire que n²×²-1 est multiple de 16.
3) Soient a et b deux entiers naturels impairs, montrer que 8 divise a²+b²-2
Merci d'avance :)
Soit n un entier naturel impair.
1) Montrer que n²-1 est un multiple de 8 (8 est un diviseur de n²-1)
2) Déduire que n²×²-1 est multiple de 16.
3) Soient a et b deux entiers naturels impairs, montrer que 8 divise a²+b²-2
Merci d'avance :)
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1/n est impair donc n = 2p+1 (p entier)
n² -1 = (2p+1)²-1 = 4p² + 4p + 1 -1 = 4p² +4p = 4p(p+1)
Soit p est pair soit p est impair et alors p+1 est pair
Dans tous les cas p(p+1) est pair.
Donc n²-1 est mutiple de 4 et d'un nombre p(p+1) pair, donc multiple de 8.
2/
Si Je comprend bien la question : n impair n= 2p+1
n^(2*2) -1= n^4 - 1 = (n² -1 )(n²+1)
Or
n²-1 est multiple de 8
n² +1 est par car n² est impair (produit de 2 impair)
donc
(n² -1 )(n²+1) est multple de 16.
3/
a et b impairs
a²+b²-2 = (a²-1 )+ (b²-1 )
a²-1 est multiple de 8 (question 1)
b²-1 est multiple de 8 (question 1)
donc (a²-1 )+ (b²-1 ) est multiple de 8
donc a²+b²-2 multiple de 8