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n(n⁴ - 1) = n(n² - 1)(n² + 1) = n (n - 1)(n + 1)(n² + 1)

tout naturel n peut s'écrire sous la forme

5k ; 5k + 1; 5k + 2, 5k + 3 ou 5k + 4   (où k est un naturel)

• si n = 5k   alors le facteur n est divisible par 5

• si n = 5k + 1 alors n - 1 = 5k ; le facteur n - 1 est divisible par 5

• si n = 5k + 2  alors (n² + 1) = (5k + 2)² = 25k² + 20k + 4 + 1

                                                               = 25k² + 20k + 5

                                                               = 5(5k² + 4k + 1)

                    le facteur  n² + 1 est divisible par 5

• si n = 5k + 3  alors (n² + 1) = (5k + 3)² = 25k² + 30k + 9 + 1

                                                              = 25k² + 30k + 10

                                                               = 5(5k² + 6k + 2)

                       le facteur  n² + 1 est divisible par 5

• si n = 5k + 4  alors n + 1 = 5k + 5 = 5(k + 1)

                       le facteur n + 1 est divisible par 5

dans tous les cas l'un des facteurs du produit n (n - 1)(n + 1)(n² + 1)

est divisible par 5

conclusion

pour tout naturel n le produit n(n⁴ - 1) est multiple de 5