Soit f la fonction définie sur l'intervalle |0; 10] par :f (x) = x3 - 18x2 + 96x - 50
1) a) Calculer f' (x) et montrer que, pour tout x € [0; 10] : f' (x) = 3(x - 4) (x - 8)
b) Étudier le signe de f' (x)
2) a) Dresser le tableau de variation de la fonction f sur 0; 10.
b) Déterminer les extremums de f sur [0; 10]. Préciser en quelles valeurs de x ils sont atteints.
1) a) Calculer f' (x) et montrer que, pour tout x € [0; 10] : f' (x) = 3(x - 4) (x - 8)
b) Étudier le signe de f' (x)
2) a) Dresser le tableau de variation de la fonction f sur 0; 10.
b) Déterminer les extremums de f sur [0; 10]. Préciser en quelles valeurs de x ils sont atteints.
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a) On a :
f(x) = x^3 - 18x^2 + 96x - 501
f'(x) = 3x^2 - 36x + 96 = 3(x^2 - 12x + 32) = 3(x-4)(x-8)
b) Le signe de f'(x) est donné par le tableau de signe suivant :
VOIR CAPTURE 1
Donc f'(x) est négative sur l'intervalle [0;4[, positive sur l'intervalle ]4;8[ et positive sur l'intervalle ]8;10].
a) Le tableau de variation de la fonction f sur [0;10] est le suivant :
VOIR CAPTURE 2
b) Les extremums de f sur [0;10] sont atteints en les valeurs pour lesquelles f'(x) = 0, c'est-à-dire en x = 4 et x = 8.
Le point (4, -77) correspond à un minimum local et le point (8, 59) correspond à un maximum local.