Réponse :

Bonjour

Explications étape par étape

Tu m'as demandé mon aide donc je regarde.

Mais à rendre pour ce mercredi après-midi , donc un peu tard !!

Et la question 2) dépasse mes compétences. Désolé !!

1)

a)

f(x)=x - a/x ==>la dérivée de 1/x est -1/x² donc :

f '(x)=1 + (a/x²)

On réduit au même dénominateur :

f ' (x)=(x²+a) /x²

b)

Pour a=1 :

f(x)=x - 1/x

f '(x)=(x²+1) / x²

Pour tout x≠0 , f(x) est  > 0.

x-------->-∞....................0....................+∞

f '(x)---->..............+........||........+....................

f (x)----->............C.........||.........C............

C=flèche qui monte.

Pour a=-1 :

f(x)=x  + 1/x

f '(x)=(x²-1) / x²

f '(x) est du signe de (x²-1)  qui est <  0 entre les racines car le coeff de x² est positif.

x²-1=0 donne : x=-1 ou x=1

x---------->-∞...............-1..................0...............1..................+∞

f '(x)------>............+.......0.......-........||.....-.........0......+.....

f(x)------->............C.......-2........D....||....D........2.......C.............

c)

f '(x)=(x²+a) /  x²

Sur ]0;+∞[ , il faut donc :

x²+a >  

Sur ]0;+∞[ , le terme x² est positif .

On aura (x²+a) > 0 si a ≥ 0

Il faut donc a ∈ [0;+∞[

On a d'ailleurs vu que si a = - 1, alors  f(x) n'est pas strictement croissante sur ]0;+∞[

Voir graph pour 1)b)