Resposta:

S = { x ∈ |R/ x ≤ 1 ∨ 2 ≤ x < 4}

obs. o símbolo ∨ representa 'ou'.

Explicação passo a passo:

c)

[tex]\displaystyle \frac{x^{2} -5x+6}{x-2} > 0[/tex]

x ≠ 2

Vamos achar as raízes da equação que está no numerador:

[tex]\displaystyle Aplicando~a~f\acute{o}rmula~de~Bhaskara~para~x^{2}-5x+6=0~~e~comparando~com~(a)x^{2}+(b)x+(c)=0,~determinamos~os~coeficientes:~\\a=1{;}~b=-5~e~c=6\\\\C\acute{a}lculo~do~discriminante~(\Delta):&\\&~\Delta=(b)^{2}-4(a)(c)=(-5)^{2}-4(1)(6)=25-(24)=1\\\\C\acute{a}lculo~das~raizes:&\\x^{'}=\frac{-(b)-\sqrt{\Delta}}{2(a)}=\frac{-(-5)-\sqrt{1}}{2(1)}=\frac{5-1}{2}=\frac{4}{2}=2\\\\x^{''}=\frac{-(b)+\sqrt{\Delta}}{2(a)}=\frac{-(-5)+\sqrt{1}}{2(1)}=\frac{5+1}{2}=\frac{6}{2}=3\\\\S=\{2,~3\}[/tex]

Fatorando:

x² - 5x + 6 = (x - 2)(x -3)

[tex]\displaystyle \frac{x^{2} -5x+6}{x-2}=\frac{(x-2)(x-3)}{x-2} > 0\\\\\\\ x-3 > 0\\\\x > 3[/tex]

d)

[tex]\displaystyle \frac{x^2-3x+2}{x-4}\leq 0[/tex]

x ≠ 4

1a equação: x² -3x + 2

Vamos achar as raízes da equação que estão no numerador:

[tex]\displaystyle Aplicando~a~f\acute{o}rmula~de~Bhaskara~para~x^{2}-3x+2=0~~e~comparando~com~(a)x^{2}+(b)x+(c)=0,~determinamos~os~coeficientes:~\\a=1{;}~b=-3~e~c=2\\\\C\acute{a}lculo~do~discriminante~(\Delta):&\\&~\Delta=(b)^{2}-4(a)(c)=(-3)^{2}-4(1)(2)=9-(8)=1\\\\C\acute{a}lculo~das~raizes:&\\x^{'}=\frac{-(b)-\sqrt{\Delta}}{2(a)}=\frac{-(-3)-\sqrt{1}}{2(1)}=\frac{3-1}{2}=\frac{2}{2}=1\\\\x^{''}=\frac{-(b)+\sqrt{\Delta}}{2(a)}=\frac{-(-3)+\sqrt{1}}{2(1)}=\frac{3+1}{2}=\frac{4}{2}=2\\\\S=\{1,~2\}[/tex]

Como a > 0, a concavidade da parábola é voltada para cima:

Estudo dos sinais:

                      --------------------------(0)-------(1)------(2)------------------------------

x² -3x + 2        ++++++++++++++++++++++(x) - - -(x) ++++++++++++++++++

2a equação x - 4

Vamos achar a raiz da equação que está no denominador:

x - 4 =0

x = 4

Como a equação x - 4 está no denominador então x ≠ 4

Com o a > 0 a função de 1o grau é crescente

Estudo dos sinais:

                      --------------------------(0)--------------------(4)------------------------------

x - 4                -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -() ++++++++++++++++++

Na divisão das duas equações.

Lembre-se na divisão os sinais são

(+)÷(+) = (+)

(+)÷(-) = (-)

(-)÷(+) = (-)

(-)÷(-) = (+)

Estudo dos sinais:

                      --------------------------(0)-------(1)--------(2)------------(4)----------------

x² -3x + 2        ++++++++++++++++++++++(x) - - - -(x) ++++++++++++++++++

x - 4                -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - ()+++++++++

(x² -3x + 2)∩(x - 4)  - - - - - - - - - - - - - - - - -(x)++++(x) - - - - - - -()+++++++++

x ≤ 1

2 ≤ x < 4