Resposta:

-8x + 12

Explicação passo a passo:

Substituindo (x+h) por x:

[tex]f'(x) = \lim_{h \to \ 0} \frac{((-4(x+h)^{2} + 12 (x+h) +3) - ( -4 x^{2} +12x + 3))}{h}[/tex] ⇔

Desenvolvendo o caso notável do tipo  [tex](a+b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}[/tex]:[tex]f'(x) = \lim_{h \to \ 0} \frac{((-4(x^{2} +2xh+h^{2}) + 12 (x+h) +3) - ( - 4x^{2} +12x + 3))}{h}[/tex] ⇔

Fazendo os cálculos devidos:

[tex]f'(x) = \lim_{h \to \ 0} \frac{(-4x^{2}-8xh-4h^{2} + 12x + 12h +3 + 4x^{2} -12x - 3))}{h}[/tex] ⇔

Fazendo as devidas simplificações:

[tex]f'(x) = \lim_{h \to \ 0} \frac{(-8xh - 4h^{2} +12h )}{h}[/tex] ⇔

Meter h em evidência no numerador:

[tex]f'(x) = \lim_{h \to \ 0} \frac{h(-8x - 4h +12 )}{h}[/tex] ⇔

Simplificar h/h=1:

[tex]f'(x) = \lim_{h \to \ 0} (-8x - 4h +12 )[/tex] ⇔

"Substituindo" h por 0:

[tex]f'(x) = -8x +12[/tex]