Ao pensarmos nas relações entre coordenadas cartesianas e cilíndricas, sabemos que podemos relacionar o eixo y entre as diversas coordenadas (x, y, z). Além disso, existe uma correlação matemática entre esses dois tipos de coordenadas.
Encontre a equação em coordenadas polares para a curva onde a equação em coordenadas cartesianas é apresentada por:[tex]x^3 +y^3 -6xy = 0[/tex]
Encontre a equação em coordenadas polares para a curva onde a equação em coordenadas cartesianas é apresentada por:[tex]x^3 +y^3 -6xy = 0[/tex]
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Sobre coordenadas cartesianas e cilíndricas e coordenadas polares, a equação para a curva é (tan(theta))^3 = 6 - sec(theta)^3.
Encontrando a equação em coordenadas polares
Como a equação em coordenadas cartesianas é: x^3 + y^3 - 6xy = 0. Podemos começar resolvendo para y em termos de x:
Em seguida, podemos usar as equações de conversão para coordenadas polares:
Substituindo as equações acima na equação anterior, obtemos:
Elevando ambos os lados ao cubo, obtemos:
Simplificando:
Dividindo ambos os lados por r^3 sin^3(theta), obtemos:
Multiplicando ambos os lados por sin^3(theta), obtemos:
E dividindo ambos os lados por cos(theta)^3, obtemos:
Que é o valor final desejado.
Veja mais questões sobre coordenadas polares em: https://brainly.com.br/tarefa/42452176
https://brainly.com.br/tarefa/7181552
#SPJ1
✅ Tendo finalizado os devidos cálculos, concluímos que a equação polar a partir da equação cartesiana do referido fólio de Descartes é:
[tex]\LARGE\displaystyle\text{$\begin{gathered} \lambda: r = \frac{6\cos\theta\sin\theta}{\cos^3\theta + \sin^3\theta}\end{gathered}$}[/tex]
Seja a equação na forma cartesiana:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} x^3 + y^3 - 6xy = 0\end{gathered}$}[/tex]
Observe que a equação dada se refere ao fólio de Descartes.
Para convertermos esta equação à sua forma polar, devemos escreve-la em termos de coordenadas polares. Para isso, devemos isolar no primeiro membro da equação o raio polar "r" e no segundo membro as operações envolvendo o argumento polar "θ".
Além disso, devemos atentar para as seguintes regras de conversões:
[tex]\LARGE\begin{cases} x = r\cos\theta\\y = r\sin\theta\\r^{2} = x^{2} + y^{2}\\\theta = \arctan\left(\dfrac{y}{x}\right)\end{cases}[/tex]
Agora, podemos realizar a conversão solicitada. Então, fazemos:
[tex]\Large \text {$\begin{aligned}x^3 + y^3 - 6xy & = 0\\x^3 + y^3 & = 6xy\\(r\cos\theta)^3 + (r\sin\theta)^3 & = 6(r\cos\theta)(r\sin\theta)\\r^3\cos^3\theta + r^3\sin^3\theta & = 6r^2\cos\theta\sin\theta\\r^3(\cos^3\theta + \sin^3\theta) & = 6r^2\cos\theta\sin\theta\\\frac{r^3}{r^2} & = \frac{6\cos\theta\sin\theta}{\cos^3\theta + \sin^3\theta}\\r & = \frac{6\cos\theta\sin\theta}{\cos^3\theta + \sin^3\theta}\end{aligned} $}[/tex]
✅ Portanto, a equação procurada é:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \lambda: r = \frac{6\cos\theta\sin\theta}{\cos^3\theta + \sin^3\theta}\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\LARGE\displaystyle\text{$\begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered}$}[/tex]
Saiba mais:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Observe \:o\:Gr\acute{a}fico!!\:\:\:}}}\end{gathered}$}[/tex]